Maxwell ' s ecuaciones usando formas diferenciales

Question

Maxwell's Ecuaciones escritas con la costumbre de cálculo vectorial son

$$\nabla \cdot E=\rho/\epsilon_0 \qquad \nabla \cdot B=0$$ $$\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t} \qquad\nabla\times B=\mu_0j+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial E}{\partial t}$$

ahora, si vamos a traducir en formas diferenciales nos damos cuenta de algo: a partir de las dos primeras ecuaciones, parece que $E$ $B$ debe $2$-formas. La razón es simple: estamos tomando la divergencia, y la divergencia de un campo vectorial es equivalente al exterior derivados de una $2$-forma, por lo que este es el primer punto.

El segundo de dos ecuaciones, sin embargo, sugiere $E$ $B$ debe $1$-formas, porque estamos tomando curl. El pensamiento de las integrales, los dos primeros integramos sobre la superficie, por lo que el integrands debería ser $2$-de las formas y el segundo dos integramos más de las rutas y así la integrands debería ser $1$-formas.

En ese caso, ¿cómo representamos $E$ $B$ con formas diferenciales, si en cada ecuación deben ser de un tipo diferente de la forma?

Answer 1

Su problema es que usted no tome la relatividad en cuenta:

En el espacio de Minkowski, la relación entre el exterior derivados y clásica operadores vectoriales es diferente de la de Euclides 3-espacio, y $E$ $B$ en realidad resultan ser los componentes de una sola 2-formulario de $F$ (que es necesario para obtener la correcta transformación de las leyes conforme aumenta).

Porque soy perezoso, me voy a trabajar hacia atrás a partir de ${\rm d}F$${\rm d}\star F$.

En primer lugar, el tensor electromagnético se puede descomponer en $$ F = \sum_i E_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i - \estrellas\sum_i B_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i $$ Estoy asumiendo una $(+---)$ convenio para la métrica de Minkowski. Por favor, tenga en cuenta que el signo anterior podría ser incorrecta - sé que metí la pata en algún lugar (empecé con un $+$ en la fórmula de arriba, y 'fijo' después de que recibí el mal resultado), por lo que podría ser una buena idea para que alguien revise estos cálculos y correcta mi respuesta si se equivocan.

El exterior de derivados de 2-formas puede ser escrito como $$ \begin{align*} {\rm d}\sum_i A_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i &= \star\sum_i (\nabla\times A)_i\,{\rm d}x^i \\ {\rm d}\star\sum_i A_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i &= -\star(\nabla\cdot A\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial A_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) \end{align*} $$ y llegamos a $$ \begin{align*} {\rm d}F &= \star\sum_i (\nabla\times E)_i\,{\rm d}x^i + \star(\nabla\cdot B\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial B_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) \\&= \star\sum_i ( \nabla\times E + \frac{\partial B}{\partial t} )_i\,{\rm d}x^i + \star\nabla\cdot B\,{\rm d}t \\ {\rm d}\star F &= {\rm d}\left( \star\sum_i E_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i + \sum_i B_i\,{\rm d}t\wedge{\rm d}x^i \right) \\&= -\star(\nabla\cdot E\,{\rm d}t + \sum_i \frac{\partial E_i}{\partial t}\,{\rm d}x^i) + \star\sum_i (\nabla\times B)_i\,{\rm d}x^i \\&= \star\sum_i ( \nabla\times B - \frac{\partial E}{\partial t} )_i\,{\rm d}x^i - \star\nabla\cdot E\,{\rm d}t \end{align*} $$ a partir de la cual queremos obtener la izquierda lados de las ecuaciones de Maxwell través de la observación y el espacio y el tiempo los componentes por separado.

Answer 2

Definir un potencial de 4 $A_\mu$. Forman entonces el formulario 1 $A = A_\mu dx^\mu$. La fuerza del campo es $F = dA = \frac{1}{2} F_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu$. En hecho, $E$ y $B$ son los componentes de un tensor 2.

Tenga en cuenta que esto implica $dF = d^2A = 0$, que dan cosas como $\nabla \cdot B = 0$.

Answer 3

Hay una respuesta a su pregunta que parece pasarse por alto y que vale la pena mencionar: Su intuición es exactamente CORRECTO.

La intensidad de campo eléctrico E es una 1-forma y densidad de flujo magnético B es una 2-forma de dar a usted

$\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t}$ $\nabla \cdot B=0$

La excitación de los campos,el campo de desplazamiento D y la intensidad del campo magnético H, constituyen una 2-forma y una 1-forma, respectivamente, haciendo que el resto de las Ecuaciones de Maxwell:

$\nabla\times H=j+\dfrac{\partial D}{\partial t}$ $\nabla \cdot D=0$

Las cuatro descripciones de campo D,H,E,a, B son geométricamente distinta con la D y E, siendo el dual de Hodge para cada uno de los otros (lo mismo para H y B).

A pesar de que su pregunta se parece a la demanda de un no-relativista respuesta recomiendo en algún punto de la comprensión de los campos en el espacio-tiempo, como se describe excelentemente por Cristoph et al. como es muy satisfactorio ver cómo todo viene junto. De todas formas, respondiendo a una pregunta no relacionada para que alguien lo anterior me encontré con este enlace y creo que puede resultar útil: https://em.groups.et.byu.net/pdfs/ftext.pdf [Enlace: Electromagnetismo: Richard H. Selfridge, David V. Arnold, y Karl F. Warnick, 3 de enero de 2002]

Answer 4

Desde que me odian (por razones que no puedo hacer objetivo confieso) el $\star$ símbolo, que proponemos a continuación para reconstruir las ecuaciones de Maxwell a partir de la definición de la 2-forma $$F=E_{i}dx^{i}\wedge dt+B_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }$$ donde puedo introducir el módulo de la notación $\left\vert i\right\vert $ tal que $\left\vert i+3\right\vert =\left\vert i\right\vert =i$. Griego índices de espacio-tiempo, latina gama sólo en el espacio de los índices. Voy a hacer nada más que Christoph en su respuesta, excepto, quizá, para la definición de la corriente, consulte a continuación.

Entonces uno tiene

$$\text{d}F=-\dfrac{\partial E_{i}}{\partial x^{j}}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dt+\dfrac{\partial B_{\left\vert i\right\vert }}{\partial x^{\left\vert i\right\vert }}dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial B_{\left\vert i\right\vert }}{\partial t}dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }\wedge dt$$

y así

$$\text{d}F = \left(\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x}-\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}+\dfrac{\partial B_{z}}{\partial t}\right)dx\wedge dy\wedge dt+\left(\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y}-\dfrac{\partial E_{y}}{\partial z}+\dfrac{\partial B_{x}}{\partial t}\right)dy\wedge dz\wedge dt + \left(\dfrac{\partial E_{x}}{\partial z}-\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x}+\dfrac{\partial B_{y}}{\partial t}\right)dz\wedge dx\wedge dt+\mathbf{\nabla\cdot B}\text{vol}^{3}$$

con el obvio cambio de notaciones y $\text{vol}^{3}=dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }=dx\wedge dy\wedge dz$ para el volumen 3-forma.

Luego, la imposición de $dF=0$ conduce a las dos ecuaciones de Maxwell $$\mathbf{\nabla\cdot B}=0\text{ and }\mathbf{0}=\mathbf{\nabla\times E}+\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$ que por lo tanto puede ser visto como una sola ecuación de continuidad para el $F$ 2-forma.

Desde que nos imponen $dF=0$, se tiene localmente $F=dA$, con la 1-forma $A=A_{\alpha}dx^{\alpha}$ verificar

$$\mathbf{E}=\mathbf{\nabla}\varphi-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\text{ and }\mathbf{B}=\mathbf{\nabla\times A}$$

por identificación directa de las $dx^{i}\wedge dt$ e las $dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }$$F$$dA$. Ahora, uno puede agregar cualquier forma exacta a $A\rightarrow A +d\chi$ ($\chi$ es una 0-forma de construcción) sin cambiar de $F=dA\rightarrow d\left(A+d\chi\right) =dA$

Luego, por supuesto, ni $E$ ni $B$ es una forma, sino $F$ es una 2-forma.

También se puede formar una 3-forma

$$j=J_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }\wedge dt-\rho\text{vol}^{3}$$

que se conserva $dj=0$ y por lo tanto localmente $j=dG$, $G$ una 2-forma, por la construcción. Reconocemos $j$ según la costumbre de la corriente de carga, y queremos construir $G$. Vamos a definir

$$\gamma=\gamma_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\gamma_{i}^{0}dx^{i}\wedge dt$$

como la mayoría de los generales 2-forma en el espacio-tiempo. El extraño espacio / tiempo de separación es necesaria ya que uno desea sólo un índice para $\gamma$. De lo contrario, podríamos haber escrito $\gamma_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}$. Nota era el mismo para $F$. A continuación, calculamos

$$d\gamma=\dfrac{\partial\gamma_{\left\vert i\right\vert }}{\partial x^{\left\vert i\right\vert }}dx^{\left\vert i\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial\gamma_{\left\vert i\right\vert }}{\partial t}dt\wedge dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+\dfrac{\partial\gamma_{i}^{0}}{\partial x^{j}}dx^{j}\wedge dx^{i}\wedge dt$$

o, separando el espacio y el tiempo una vez más, uno tiene

$$\mathbf{J}=\dfrac{\partial\mathbf{\gamma}}{\partial t}+\mathbf{\nabla\times\gamma}^{0}\text{ and }-\rho=\mathbf{\nabla\cdot\gamma}$$

donde reconocemos la segunda serie de las ecuaciones de Maxwell si definimos

$$\mathbf{\gamma}=-\mathbf{D}\text{ and }\mathbf{\gamma}^{0}=\mathbf{H}$$

y -- una vez más -- ni $H$ ni $D$ es una forma, sino $\gamma$ es una 2-forma, lo llaman $$-G=D_{\left\vert i\right\vert }dx^{\left\vert i+1\right\vert }\wedge dx^{\left\vert i+2\right\vert }+H_{i}dt\wedge dx^{i}$$ si usted desea. La parte divertida es que por supuesto, cualquier sustitución $G\rightarrow G+d\phi$ ($\phi$ es una 2-forma) no va a redefinir la carga en $j=dG\rightarrow d\left(G+d\phi\right)=dG$.