Transformación de Legendre de una lagrangiana en mecánica clásica

Question

Tengo algunas preguntas sobre la Transformación de Legendre de un Lagrangiano en Mecánica Clásica al Hamiltoniano:

Comenzamos con un Lagrangiano $L(q,\dot{q})=\frac{\langle \dot{q} , \dot{q}\rangle }{2} - V(q,\dot{q})$ y para poder tener una Transformación de Legendre única requerimos que la derivada parcial $ p:= \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ existe y el lagrangiano es convexo con respecto a $\dot{q}$ o ¿hay algo más que necesitemos? Ahora me preguntaba lo siguiente:

Si nuestro potencial $V(q,\dot{q})$ también depende de alguna manera extraña de las velocidades, esto podría significar que nuestra Lagrangiana ya no es convexa con respecto a la velocidad, por lo que el Trafo de Legendre ya no sería necesariamente único, ¿no? tiene esto alguna consecuencia en la mecánica clásica?

Si el lagrangiano fuera convexo con respecto a $q$ podríamos también sustituir esta variable utilizando la Transformación de Legendre y mantener $\dot{q}$ ¿Sólo por curiosidad?

¿Podemos concluir que L es convexo con respecto a $q$ y $\dot{q}$ por separado, que sea una función convexa o se requiere algo más? ¿Probablemente se podría decir esto investigando la matriz hessiana de alguna manera?

Answer 1

Como lo pensé, fue que la transformada de Legendre es única para cada función $L$ en el haz tangente $T M$ . Aquí $q$ representa las coordenadas estándar y el $\dot q$ son las coordenadas inducidas. No importa cuál sea la lagrangiana, siempre se puede definir una transformada de Legendre asociada a ella, sólo que podría no tener buenas propiedades.

Si la lagrangiana es convexa, la transformada de Legendre asociada también lo es. Si la lagrangiana tiene un hessiano definido positivo en cada punto, entonces la transformada de Legendre asociada es un difeomorfismo en su imagen.

Si el lagrangiano tiene crecimiento cuadrático en el infinito (lo que significa que tiene un hessiano definido positivo en cada punto, y existe alguna forma cuadrática definida positiva $Q$ y constante $K$ tal que $L( p)\geq Q(p )+K$ ) entonces la transformada de Legendre es sobre todo el haz cotangente $T^\ast M$ .