Encuentre la solución de las ecuaciones diferenciales dadas utilizando la variación de los parámetros

Question

Así que las ecuaciones son $y''-5y'+6y=g(t)$

Encontré que la ecuación característica es $r^{2}-5r+6=0$ qué factores a $(r-3)(r-2)$

Así que el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea es:

$y_{1}=e^{3t}$ y $y_{2}=e^{2t}$

Que sé que tenía que encontrar $y_{p}$ para poder encontrar la solución general $y(t)=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+y_{p}(t)$

\begin{equation*} \begin{pmatrix} e^{3t} & e^{2t}\\ 3e^{3t} & 2e^{2t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1}'\\ u_{2}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ g(t) \end{pmatrix} . \fin{ecuación*}

Encontré la inversa de la primera matriz y resolví $u_{1}'$ y $u_{2}'$ obteniendo

$u_{1}'=e^{-3t}g(t)$

$u_{2}'=-e^{-2t}g(t)$

Pero después de esto estoy un poco atascado. Sé que la solución general tendrá integrales ya que no se sabe realmente qué es g(t) pero el libro da la respuesta con otra variable s y no sé de dónde sale. Esta es la solución que da el libro:

$y=c_{1}e^{2t}+c_{2}e^{3t}+\int{[e^{3(t-s)}-e^{2(t-s)}]g(s) ds}$

donde sólo tengo $y_{1}$ y $y_{2}$ cambiado.

Answer 1

Según el método de variación de parámetros, la solución particular de 2 $^{nd}$ orden ODE $$ y''(t)+py'(t)+qy = f(t) $$ es $$ y_p = -y_1(t) \int \frac {y_2(s) f(s)}{W(s)} ds+y_2(t) \int \frac {y_1(s)f(s)}{W(s)}ds $$ donde $y_1(t)$ y $y_2(t)$ son soluciones fundamentales del problema homogéneo, y $W$ es un Wronskian de $y_1$ y $y_2$ : $$ W(t) = \left | \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{array}\right | = y_1y_2'-y_2y_1' $$ En su caso $y_1 = e^{2t}$ y $y_2 = e^{3t}$ Así que $$ W(t) = 3e^{2t}e^{3t} - 2e^{3t}e^{2t} = e^{5t} $$ y por lo tanto $$ y_p = -e^{2t}\int \frac{e^{3s}g}{e^{5s}}ds+e^{3t}\int \frac {e^{2s}g}{e^{5s}}ds = \int{e^{3(t-s)}}gds-\int e^{2(t-s)}gds=\int \left [ e^{3(t-s)}-e^{2(t-s)}\right]gds $$

Answer 2

El $s$ que viste probablemente se refería a una variable de la transformada de Laplace; la LT se utilizó para resolver este problema.

La transformada de Laplace de una función $f(t)$ es

$$\hat{f}(s) = \int_0^{\infty} dt \: f(t) e^{-s t}$$

Cuando $f$ es diferenciable sobre $[0,\infty)$ tenemos $\hat{f'}(s) = -f(0) + s \hat{f}(s)$ y etc. para los derivados superiores.

Entonces puede demostrar que su ecuación diferencial toma la forma

$$(-y'(0) - sy(0) + s^2 \hat{y}(s)) - 5 (-y(0)+s \hat{y}(s)) + 6 \hat{y}(s) = \hat{g}(s)$$

o, resolviendo para $\hat{y}(s)$ :

$$\hat{y}(s) = \frac{y'(0) + (s-5) y(0) + \hat{g}(s)}{s^2-5 s+6}$$

Para encontrar $y(t)$ se necesita la transformada inversa de Laplace:

$$y(t) = \frac{1}{i 2 \pi} \int_{a-i \infty}^{a+i \infty} ds \frac{y'(0) + (s-5) y(0) + \hat{g}(s)}{s^2-5 s+6} e^{s t}$$

donde $a>0$ . No estoy seguro de que hayas visto esta forma de la inversa; tal vez hayas buscado los inversos en una tabla, lo cual también está bien. En cualquier caso, no voy a detallar la forma en que obtuve la respuesta, que implica el teorema del residuo, del que puedes o no tener un conocimiento práctico. Mi respuesta es

$$y(t) = (y'(0)-2 y(0) + \hat{g}(3)) e^{3 t} - (y'(0) - 3 y(0) + \hat{g}(2)) e^{2 t}$$

donde

$$\hat{g}(3) = \int_0^{\infty} dt' \: g(t') e^{-3 t'}$$ $$\hat{g}(2) = \int_0^{\infty} dt' \: g(t') e^{-2 t'}$$

La solución se especifica ahora completamente en términos de las condiciones iniciales, la solución homogénea y las integrales sobre la función de conducción. Usted debe ser capaz de ver que esta solución es equivalente a lo que publicó, con $c_1 = - (y'(0) - 3 y(0))$ y $c_2 = (y'(0)-2 y(0))$ .

EDITAR

Veo que el título dice "usando la variación de los parámetros", así que puede que haya metido la pata al suponer que se usaba la LT. Dicho esto, este es un enfoque muy valioso para resolver estas ecuaciones, especialmente cuando hay un término de forzamiento como el que tienes aquí.