Corridas de probabilidad

Question

El papel se produce en un proceso continuo. Supongamos que se realiza una medición de la luminosidad del papel cada media hora. Tenemos quince mediciones. Los datos se introducen en R y se obtienen los siguientes resultados. La mediana del brillo es de 3,2. Definiremos un valor como alto (H) si es mayor o igual que la mediana y como bajo (L) si es menor que la mediana.

"L" "L" "L" "H" "H" "H" "H" "L" "H" "H" "H" "H" "L" "L"

a) En términos de las H y L observadas, ¿cuántas carreras hay? b) Sea r el número de ejecuciones de la parte a) Suponiendo que el proceso de fabricación está bajo control de calidad estadístico (es decir, las permutaciones de las H y L observadas son igualmente probables), ¿cuál es la probabilidad de observar exactamente r ejecuciones?

Sé cómo resolver el problema de la parte a) Hay 3 carreras de baja y 2 carreras de alta. No tengo ni idea de cómo empezar la parte b) porque estamos mirando las carreras r. ¿Estoy buscando tanto las carreras altas como las bajas? No sé por dónde empezar con este problema.

Answer 1

En el ejemplo hay 5 ejecuciones de resultados altos o bajos (3 de ejecuciones bajas, 2 de ejecuciones altas).

Para obtener exactamente $r$ corre debe haber $r-1$ de la $15-1$ medidas después de la primera en la que el resultado cambia con respecto al resultado anterior. (Es decir, el inicio de una nueva ejecución.) Como cualquier ejecución tiene la misma probabilidad de convertirse en el inicio de una nueva ejecución (condicionada a la composición de la ejecución), entonces utilizamos un argumento combinatorio para obtener la probabilidad.

El primer compás marca la pauta.   Sin embargo, la probabilidad de que un resultado esté por encima de la mediana es $1/2$ por la definición de valor medio .   Así que no necesitamos condicionar el primer resultado.

$$\mathsf P(R=r) \quad=\quad \binom{14}{r-1}\;\frac{1}{2^{14}} \qquad [r\in\{1,.. 15\}]$$

Answer 2

Siempre que las probabilidades de L y H sean ambas $1/2$ e independiente de las mediciones anteriores, la probabilidad de que se inicie una nueva carrera en una determinada medición es también $1/2$ .

A continuación, comenzamos (trivialmente) una nueva ejecución con la primera medición. El número de ejecuciones adicionales tiene entonces una distribución binomial con $14$ ensayos y $1/2$ probabilidad de éxito. Por lo tanto, la probabilidad de que haya $r$ se ejecuta en el $15$ es igual a

$$ p_r = \binom{14}{r-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{14} $$

Por ejemplo, para que haya $r = 5$ como se ha visto en la parte (a), existe la carrera inicial iniciada por la primera medición, y luego debe haber $r-1 = 4$ nuevas carreras iniciadas entre los $14$ las mediciones restantes. Esto ocurre con probabilidad

$$ p_4 = \binom{14}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{14} = \frac{1001}{16384} \doteq 0.061096 $$