Cualquier $V\subset \Bbb R$ es realcompacto

Question

El espacio $X$ es realcompacto si $X$ se incrusta como un subespacio cerrado en $\Bbb R^k$ para algunos $k$ .

¿Cómo podemos demostrar que cualquier $V\subset \Bbb R$ ¿es realcompact?

Answer 1

Una forma es demostrar que un espacio de Tikhonov $X$ es realcompacto si y sólo si cada $z$ -ultrafiltro activado $X$ con la propiedad de intersección contable tiene una intersección no vacía. (A $z$ -ultrafiltro es un ultrafiltro de conjuntos cero; $Z\subseteq X$ es un conjunto cero si existe un conjunto continuo $f:X\to[0,1]$ tal que $Z=f^{-1}[\{0\}]$ . Una familia $\mathscr{F}$ de conjuntos tiene la propiedad de intersección contable si $\bigcap\mathscr{C}\ne\varnothing$ siempre que $\mathscr{C}\subseteq\mathscr{F}$ es contable. Este es el Teorema $3.11.11$ en R. Engelking, Topología general .)

De ello se deduce que todo espacio de Lindelöf Tikhonov es realcompacto. $\Bbb R$ es segundo contable, por lo que es hereditariamente Lindelöf.