¿Cómo puedo deducir (3.6) de (3.5)?

Question

Mi intento:-

He podido comprobar la fórmula anterior para $f\in A_2(V) $ y $g\in A_1(V)$ y viceversa. Conozco el hecho de que el número de permutaciones pares en $S_{k+l}$ es $\frac{(k+l)!}{2}$ . Por lo tanto, sgn( $\sigma$ )= $1$ para $\frac{(k+l)!}{2}$ y sgn( $\sigma$ )= $-1$ para $\frac{(k+l)!}{2}$ . No pude deducir para el caso general.

Answer 1

A partir del comentario de @Jaroslaw Matlak he escrito lo que he entendido en el apartado del libro de texto.

Considere cualquier $\sigma \in S_{k+l}$ y $\tau \in S_k$ . $$(sgn\sigma \tau)f(v_{\sigma \tau(1)}, v_{\sigma \tau(2)},..., v_{\sigma \tau(k)})=(sgn\sigma \tau)(sgn\tau)f(v_{\sigma ((1))}, v_{\sigma ((2))},..., v_{\sigma ((k))})=(sgn\sigma)f(v_{\sigma ((1))}, v_{\sigma ((2))},..., v_{\sigma ((k))}).$$ Existe una $\tau'\in S_k$ tal que $\sigma \tau'(1)<\sigma \tau'(2)<...<\sigma \tau'(k). $ Tenemos $\sigma \tau \in S_{k+l},$ fija el argumento de $g$ . T or lo tanto, $k!$ número de cantidades iguales existe en el ( $3.5$ ).

Considere cualquier $\sigma \in S_{k+l}$ y $\rho \in S_l$ . $$(sgn\sigma \rho)g(v_{\sigma \rho(k+1)}, v_{\sigma \rho(k+2)},..., v_{\sigma \rho(k+l)})=(sgn\sigma \rho)(sgn\rho)f(v_{\sigma ((k+1))}, v_{\sigma ((k+2))},..., v_{\sigma ((k+l))})=(sgn\sigma)g(v_{\sigma ((k+1))}, v_{\sigma ((k+2))},..., v_{\sigma ((k+l))}).$$ Existe una $\rho'\in S_l$ tal que $\sigma \rho'(k+1)<\sigma \rho'(k+2)<...<\sigma \rho'(k+l). $ Tenemos $\sigma \rho \in S_{k+l},$ fija el argumento de $f$ . Aplicando en ( $3.5$ ) Obtenemos ( $3.6$ ).