¿Superficie de un conjunto convexo menor que la de su esfera circundante?

Question

Es la medida del límite ("superficie") de un conjunto convexo en $\mathbb{R}^n$ ¿es menor que la medida del límite de su hiperesfera circundante (la hiperesfera más pequeña que contiene al conjunto)?

En 2D he encontrado un artículo que afirma que es cierto, e intuitivamente creo que debería ser cierto para n-D, pero tengo problemas para demostrarlo.

Editar Posible solución: aproximar la frontera del conjunto interior con paneles - segmentos de línea/triángulos/tetraedros/ect, dependiendo de la dimensión. A continuación, proyectar ortogonalmente esos paneles sobre la hiperesfera. Como el conjunto es convexo, las proyecciones de los paneles no se solapan, y como las proyecciones son ortogonales, sus proyecciones sobre la esfera son mayores que los paneles originales.

Edición 2 Una conjetura más general: Si $X$ y $Y$ son conjuntos convexos con $X \subset Y \subset \mathbb{R}^n$ entonces $|\partial X| \le |\partial Y|$

Answer 1

Sea el conjunto $C$ y la esfera $S$ . Mapa $S$ en $C$ para que $f(s)$ es el punto más cercano a $s$ en $C$ . Entonces $f$ es una contracción, por lo que disminuye la medida de Hausdorff de cualquier dimensión.

Para ver que $f$ es una contracción, dejemos que $f(s_1) = c_1$ y $f(s_2) = c_2 \ne c_1$ . Entonces $(c_1 - c_2) \cdot (s_1 - c_1) \ge 0$ (de lo contrario, se obtiene un punto más cercano a $s_1$ al pasar de $c_1$ una corta distancia en dirección a $c_2$ ), y del mismo modo $(c_2 - c_1) \cdot (s_2 - c_2) \ge 0$ . Sume estos y reordene para obtener $\|c_1 - c_2\|^2 \le (c_1 - c_2) \cdot (s_1 - s_2)$ y utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.