encontrar las soluciones de $\phi(n) = 14$ .

Question

He probado lo siguiente.

Dejemos que $n = \Pi p_i^{\alpha_i}$ sea una factorización prima de $n$ Entonces podemos ver eso:

$\phi(n) = \Pi(p_i^{\alpha_i} - p_i^{\alpha_i-1}) = 14 = 2\cdot7$ .

El principal problema aquí es que no sé cómo encontrar $p_i$ tal que la última ecuación se cumpla o no. ¿Hay algún truco para encontrar estas soluciones?

Kees

Answer 1

$$\phi(n)=\prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i-1}(p_i-1)=2\cdot 7\implies \exists p_i=7\ \mathrm{but}\ p_i-1=1\ \mathrm{or}\ 2$$ lo que lleva a una contradicción, por lo que no hay tal $n$ existe.

De hecho, una pequeña reflexión revela que $\phi(n)$ tal vez cuadrado libre sólo si $n$ es alguna potencia de un primo.

Answer 2

$2 \cdot7$ es la única forma no trivial de escribir $14$ como producto de dos naturales.

Por lo tanto, hay que considerar exactamente los siguientes casos ( $p, q$ primo):

1.) $n = p^k$ es decir. $p^k - p^{k-1} = 14$

2.) $n = p^k q^m$ es decir. $p^k - p^{k-1} = 2 \wedge q^m - q^{m-1} = 7$

Caso 1 :

Si $k = 1$ entonces $p^k - p^{k-1} = 14$ tiene la solución $p=15$ que no es primordial. Si $k \ge 2$ , $14$ debe dividir el primo o $p - 1$ . $14|p$ es imposible. Si $14|(p-1)$ entonces $p \ge 15$ . Pero tenemos $p^k - p^{k-1} \ge p^2 - p$ (ya que $p^k - p^{k-1}$ crece si $k$ crece), y $$ p^2 - p = p(p-1) \ge 15 \cdot 14 > 2. $$

Caso 2 :

Primero determinemos $q$ y $m$ . $m=1$ es imposible, ya que $q - 1 = 7$ tiene solución $q=8$ que no es primo. Si $m \ge 2$ entonces $7$ debe dividir $q$ ou $q-1$ . $q = 7$ es imposible, ya que $7^k - 7^{k-1} \ge 49 - 7 > 7$ .

Concluimos que el 14 no es a imagen y semejanza del $\phi$ .