El truco de Jouanolou

Question

En Una secuencia exacta de Mayer-Vietoris en la teoría K (1972) Jouanolou demuestra que para cualquier variedad cuasi-proyectiva $X$ existe una variedad afín $Y$ que mapea surjetivamente a $X$ con fibras que son espacios afines. Esto fue utilizado, por ejemplo, por D. Arapura para (re)demostrar que la secuencia espectral de Leray de cualquier morfismo de variedades cuasi-proyectivas está dotada, a partir del segundo término, de una estructura mixta natural de Hodge.

Esta es una prueba cuando $X$ es $\mathbf{P}^n$ sobre un campo $k$ : tomar $Y$ para ser la variedad afín formada por todos los $n+1 \times n+1$ matrices que son idempotentes y tienen rango 1. Esto es efectivamente afín ya que viene dado por las ecuaciones $A^2=A$ el polinomio característico de $A$ es $x^n(x-1)$ . Además, $Y$ se asigna a $\mathbf{P}^n(k)$ tomando una matriz a su imagen. La preimagen de un punto de $\mathbf{P}^n(k)$ es "el conjunto de todos los hiperplanos que no contienen una línea determinada", que es isomorfo a un espacio afín.

El caso general (cuasi-proyectivo) se deduce fácilmente de lo anterior. Sin embargo, no está claro cómo generalizar el truco de Jouanolou para variedades arbitrarias. Tampoco está claro (para mí) que esto sea imposible.

1. ¿Existe un análogo del lema de Jouanolou para variedades arbitrarias (no necesariamente cuasi-proyectivas) (es decir, esquemas separados reducidos de tipo finito sobre, digamos, un campo algebraicamente cerrado)?

2. (versión más débil de 1 sobre números complejos) ¿Existe, dada una variedad algebraica compleja $X$ una variedad afín $Y$ que mapea surjetivamente a $X$ y tal que todas las fibras son contractibles en la topología compleja? Una respuesta negativa sería especialmente interesante.

3. (la siguiente pregunta es un poco vaga, pero si tiene una respuesta razonable, entonces probablemente implicaría una respuesta positiva a la 2.) ¿Existe un análogo cuasi-proyectivo de la unión topológica de dos espacios proyectivos? Es decir, si $P_1$ y $P_2$ son dos espacios proyectivos complejos, ¿existe una variedad cuasi-proyectiva $X$ que "contiene la unión disjunta de $P_1$ y $P_2$ y está formado por todas las líneas afines que unen un punto en $P_1$ con un punto en $P_2$ "?

Edición 1 En 1. y 2. se requiere que las variedades sean conectadas (lo que significa que el conjunto de puntos cerrados es conectado en la topología de Zariski; en 2 se podría utilizar la topología compleja en su lugar).

Edición 2 Como me explicó Vanya Cheltsov, lo más probable es que la respuesta a la tercera pregunta sea no.

Answer 1

El truco de Jouanolou ha sido extendido a esquemas con una "amplia familia de haces de líneas" por Thomason; véase Weibel: Homotopy Algebraic K-theory, Proposition 4.4. Esto incluye todas las variedades lisas y, más generalmente, todas las variedades con grupos de clase local de torsión. Sin embargo, existen variedades propias (de dimensión positiva) sin haces de líneas no triviales en ellas; parece posible que en tales variedades no haya haces afines con espacio total afín.

Answer 2

El truco de Jounalou es genial, ¿no? No conozco nada similar para variedades o esquemas no cuasiproyectivos. para variedades o esquemas no cuasiproyectivos. Ciertamente se puede utilizar el lema de Chow para reducir al caso cuasiproyectivo, pero es mucho más complicado...

Answer 3

Bueno, como nadie ha dicho nada, diré lo único que se me ha ocurrido, que es bastante elemental. Debería bastar con hacerlo para las variedades completas, así que limítate a ese caso. Lo único que se me ocurre es que por el lema de Chow, hay $\bar{X}\to X$ una variedad proyectiva sobre $X$ y un mapa birracional. Esto nos dice que sobre un conjunto abierto, todo debería funcionar, así que podemos reducir al lugar excepcional. Será a su vez un subconjunto abierto de una variedad completa, por lo que al menos podemos obtener algo así para una estratificación de una variedad arbitraria, por lo que si estamos dispuestos a hacer una trampa horrible, podemos utilizar la unión disjunta de estas variedades, para hacerlo, aunque mi pensamiento es que la dimensión del espacio afín sobre un punto será semicontinua en lugar de constante, por lo que es de mucha menos utilidad. No veo inmediatamente cómo obtener un irreducible.

Answer 4

Puede que me esté perdiendo algo sobre pregunta 3 . Esta es una construcción sencilla:

Consideremos un espacio proyectivo $P$ de dimensión $\text{dim}\\, P_1 + \text{dim}\\, P_2$ que contiene tanto $P_1$ y $P_2$ en posición general. Entonces cada punto de $P-P_1-P_2\ $ se encuentra exactamente en una línea que conecta $x$ de $P_1$ con $y\in P_2$ . ¿Es este el tipo de unión que buscas?

Sobre la pregunta 2 , tengo una cosa más sencilla que no me queda clara ( ahora se publica como una pregunta ):

¿una variedad algebraica compleja que es topológicamente contractible es necesariamente afín?