Convergencia de $\sum_n a_n$ donde $0\leq a_{n+1}\leq a_n(1-\beta a_n^{\alpha})$

Question

Tenemos una serie $\sum a_n$ tal que $a_n\geq0$ y $a_{n+1}\leq a_n(1-\beta a_n^{\alpha})$ ( $0<\alpha<1,\beta>0$ son números constantes). Queremos demostrar que $\sum a_n$ converge.

Podemos tener fácilmente $\lim a_n=0$ . Pero no tengo una buena idea para probar la conergencia de $\sum a_n$ Los criterios estándar no han funcionado bien.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si $a_n=0$ para algunos $n$ entonces $\forall k\geq n , a_{k}=0$ y no hay nada que probar. Así que uno puede asumir que $\forall n, a_n\neq 0$ .
Voy a probar la afirmación para el peor de los casos en que $a_{n+1} = a_n(1-\beta a_n^{\alpha})$ . La convergencia se producirá en el caso general por comparación.

Desde $a_1\geq a_1-a_{N+1} = \beta \sum_{n=1}^N a_n^{1+\alpha}$ , $\sum_n a_n^{1+\alpha}$ converge, lo que implica que $a_n^{1+\alpha}\to 0$ Por lo tanto $a_n\to 0$ .

Tenga en cuenta que $\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^\alpha} = \frac{1}{a_{n}^\alpha}\frac{1}{{(1-\beta a_n^\alpha)}^{\alpha}}=\frac{1}{a_{n}^\alpha}(1+\alpha \beta a_n^{\alpha}+o(a_n^{\alpha})) = \frac{1}{a_{n}^\alpha} + \alpha \beta +o(1)$ .

Así, $\displaystyle \frac{1}{a_{n}^\alpha} = \alpha \beta n + o(n)$ que da como resultado $\displaystyle a_n \sim (\alpha \beta)^{-1/\alpha} \frac{1}{n^{1/\alpha}}$ .

Desde $\frac{1}{\alpha}>1$ se produce la convergencia.