Resolver la ecuación integral con la convolución y una constante añadida

Question

$7t + 8/5 $$ \int_0^t \cos (a(t - \tau)) y(\tau) d\tau $$ = y(t)$ , para $ a>10^{50}$

Estoy un poco confundido al trabajar con la constante $a$ .

Utilicé el teorema de convolución y apliqué el de Laplace, dándole: $ 7t + 8/5[(s/(s^2 + a^2) Y(s)] = Y(s) $

Answer 1

La propiedad de convolución dice que $$L\!\left[\int_0^tf(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau\right]=F(s)\,G(s),$$ donde \begin{align*} L[f(t)]&=F(s)\\ L[g(t)]&=G(s). \end{align*} Así que en tu caso, eso significaría, tomar la LT de toda la ecuación: \begin{align*} \frac{7}{s^2}+\frac85\,L[\cos(at)]\,Y(s)&=Y(s)\\ \frac{7}{s^2}+\frac{8\,s\,Y(s)}{s^2+a^2}&=Y(s). \end{align*} Resolver para $Y(s)$ rinde $$Y(s)=\frac{7(s^2+a^2)}{s^2(s^2-8s+a^2)}.$$ ¿Ahora puedes terminar?