Secuencias con elementos reocurrentes/dobles: expresión cerrada

Question

Me gustaría pediros ayuda para encontrar las expresiones de forma cerrada para el $n^{th}$ término de secuencias con elementos que se repiten o se duplican. En concreto, las siguientes secuencias:

$(a_n)=(0,1,1,3,3,6,6,10,10,15,15,...)$ donde $a_0=0,$ y $a_{2n+1}=a_{2n+2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2},~ n=0,1,2,...$

$(b_n)=(1,1,0,1,1,0,...)$ donde $a_{3n}=a_{3n+1}=1,$ y $a_{3n+2}=0,~n=0,1,2,...$

Me gustaría conocer una expresión cerrada para
$a_n=f(n),$
$b_n=g(n)$ .

Por si te interesa, actualmente estoy trabajando en series divergentes y sus valores potenciales.

Si puede ayudarme se lo agradecería mucho.

Saludos, Alex

Answer 1

Gracias a Somos encontré las soluciones que buscaba. Así que si alguien más está interesado:

$a_n=\frac{1}{16}((2n+3)\cdot\cos(\pi(n-1))+2n^2+6n+3)$

$b_n=\frac{2}{3}(1-\cos(2\pi\frac{n+1}{3}))$

Estaba buscando específicamente soluciones que sean también funciones diferenciables sobre $\mathbb{R}$ .