¿Métodos para calcular la función de Green para la ecuación de onda 1D con coeficiente no liso?

Question

Estoy buscando consejo sobre los mejores métodos numéricos disponibles para calcular la función de Green para una ecuación de onda 1D con coeficiente aproximado.

Supongamos que el coeficiente $c(x)$ en la ecuación de onda 1D $u_{tt}-c(x)^2u_{xx}=0$ tiene valores constantes $c_0$ y $c_1$ a la izquierda y a la derecha respectivamente de un intervalo acotado $I=(x_0,x_1)$ pero es variable y no es suave en $I$ . Más concretamente, supongamos que $c$ es parcial $C^1$ en $I$ (para que pueda tener un número finito de discontinuidades de salto, por ejemplo). Consideremos las condiciones iniciales correspondientes a un impulso unitario que se mueve a la izquierda o a la derecha en un punto de origen $x_s$ : $u(x,0)=\delta(x-x_s)$ , $u_t(x,0)=\pm\delta^\prime(x-x_s)$ . Se quiere calcular la solución (distributiva) $u(x_r,t)$ para $0<t<T$ en algún otro punto $x_r$ . (Se puede suponer que $x_s$ es un punto de continuidad de $c$ .)

1) ¿Qué técnicas numéricas establecidas son aplicables a este problema?

2) ¿Cuál sería el "patrón oro" con el que se deberían juzgar los nuevos métodos?

Answer 1

Como punto de referencia para la comparación, se puede utilizar un esquema de diferencias finitas de tamaño de paso variable explícito. Se trata de una técnica numérica bien establecida para problemas de EDP 1D, incluso con dominios no acotados.

Me centraré en la discretización espacial del término $c(x) \partial_{xx} f(x)$ porque la discretización temporal es estándar. Aunque $c(x)$ puede tener discontinuidades de salto, este término es benigno porque $c(x)$ no está diferenciada. Obsérvese que la estabilidad numérica puede requerir que se ajuste el tamaño del paso de tiempo local para garantizar que el cono de influencia discreto que emana hacia atrás desde un punto dado siempre contenga al continuo (también conocido como condición CFL). Este es el punto principal de la introducción de una aproximación de tamaño de paso variable.

Dejemos que $S = \{ x_i \}$ sea una colección de puntos de la cuadrícula en $\mathbb{R}$ con los tamaños de la rejilla espacial hacia adelante, hacia atrás y el promedio dados por: $$\delta x_i^+ = x_{i+1} - x_i \;, \quad \delta x_i^- = x_i - x_{i-1}\;, \quad \delta x_i = \frac{\delta x_i^+ + \delta x_i^-}{2}$$ Tenga en cuenta que no suponemos que $S$ contiene las discontinuidades de salto de $c(x)$ . Podría ser ventajoso incluir estos puntos para satisfacer la condición de CFL antes mencionada. Además, para resolver con precisión el efecto de los saltos en $c(x)$ es necesario elegir el tamaño de la cuadrícula local lo suficientemente pequeño.

En cualquier punto de la cuadrícula (incluida una discontinuidad de salto de $c(x)$ ) utilizan un tamaño de rejilla variable estándar, esquema central $$(c(x) \partial_{xx} f(x))_i \approx \frac{c_i}{ \delta x_i} \left( \frac{f_{i+1} - f_i}{\delta x_i^+} - \frac{f_{i} - f_{i-1}}{\delta x_i^-} \right)$$ Si $f$ es $C^4$ (en el espacio), entonces es sencillo verificar que esta aproximación es localmente exacta de segundo orden en cada punto de la cuadrícula. Mi opinión es que la precisión global de este esquema en el $\ell_1$ también es de segundo orden. Para demostrar esto, es necesario entender las propiedades de la solución exacta en una vecindad de las discontinuidades de salto de $c(x)$ .