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Demuestra que las matrices similares tienen la misma multiplicidad geométrica

Estoy tratando de demostrar en dos casos que dos matrices similares son diagonalizables o no diagonalizables? Si son diagonalizables, obviamente el enunciado es válido. Pero, ¿y si no lo son? ¿Pueden las matrices no diagonalizables seguir siendo similares? Si es así, muéstrame un ejemplo, por favor. Gracias.

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MarlonRibunal Puntos 1732

Dejemos que $A,B\in M_n(\Bbb K)$ para que $\exists P\in GL_n(\Bbb K), A = P B P^{-1}$

$\forall \lambda \in \Bbb K, \gamma_A(\lambda)=\dim \operatorname{Ker} \left( A - \lambda I_n\right) = \dim \left\{X \in \Bbb K ^n, AX=\lambda X\right\}=\dim \left\{X \in \Bbb K ^n, P B P^{-1}X=\lambda X\right\} =\dim \left\{X \in \Bbb K ^n, B (P^{-1}X)=\lambda (P^{-1}X)\right\}=\dim \left\{X \in \Bbb K ^n, B X=\lambda X\right\}=\dim \operatorname{Ker} \left( B - \lambda I_n\right)=\gamma_B(\lambda)$

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Lior B-S Puntos 1216

Un ejemplo a su petición: Creo que $$ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} $$ and $$ \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix} $$ son similares, pero no son diagonalizables.

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