Demuestra que las matrices similares tienen la misma multiplicidad geométrica

Question

Estoy tratando de demostrar en dos casos que dos matrices similares son diagonalizables o no diagonalizables? Si son diagonalizables, obviamente el enunciado es válido. Pero, ¿y si no lo son? ¿Pueden las matrices no diagonalizables seguir siendo similares? Si es así, muéstrame un ejemplo, por favor. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $A,B\in M_n(\Bbb K)$ para que $\exists P\in GL_n(\Bbb K), A = P B P^{-1}$

$\forall \lambda \in \Bbb K, \gamma_A(\lambda)=\dim \operatorname{Ker} \left( A - \lambda I_n\right) = \dim \left\{X \in \Bbb K ^n, AX=\lambda X\right\}=\dim \left\{X \in \Bbb K ^n, P B P^{-1}X=\lambda X\right\} =\dim \left\{X \in \Bbb K ^n, B (P^{-1}X)=\lambda (P^{-1}X)\right\}=\dim \left\{X \in \Bbb K ^n, B X=\lambda X\right\}=\dim \operatorname{Ker} \left( B - \lambda I_n\right)=\gamma_B(\lambda)$

Answer 2

Un ejemplo a su petición: Creo que $$ \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} $$ and $$ \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix} $$ son similares, pero no son diagonalizables.