La categoría de categorías como fundamento de las matemáticas

Question

En

Lawvere, F.W., 1966, "La categoría de Categorías como fundamento de Matemáticas", Actas de la Conference on Categorical Algebra, La Jolla, Nueva York: Springer-Verlag, 1-21.

Lawvere propuso una teoría elemental de la categoría de categorías que puede servir de fundamento a las matemáticas.

Hasta ahora he escuchado de varias fuentes que hay algunas fallas con esta teoría para que no funcione completamente como se propone.

Así que mi pregunta es si existe actualmente alguna teoría elemental (aceptada) de la categoría de categorías que sea lo suficientemente rica como para que uno pueda formular, digamos, las siguientes cosas en la teoría:

• La categoría de conjuntos.
• Nociones básicas de teoría de categorías (categorías de funtores, adjuntos, extensiones de Kan, etc.).
• Otras categorías importantes (como la categoría de anillos o la de esquemas).

La teoría elemental que busco debería permitirme identificar lo que debería llamarse una categoría de anillos conmutativos (en el mejor de los casos me gustaría ver esta categoría definida por una propiedad 2-categórica universal) o cómo trabajar con esta categoría. No estoy interesado en definir grupos, anillos, etc. como categorías especiales, ya que esto parece hacerse mejor en una teoría elemental de conjuntos.

P.D.: La misma pregunta tiene un análogo un nivel más alto. Supongamos que hemos construido un objeto en la categoría de categorías (=: CAT) que puede servir como una, digamos, categoría C de espacios. Clásicamente, podemos asociar a cada espacio X de C el topos de la gavilla sobre él. En la imagen que tengo en mente, uno debería preguntarse si existe una teoría elemental similar de la categoría de 2-categorías (=: 2-CAT). Entonces uno debería ser capaz de elevar el objeto C de CAT a 2-CAT (como uno es capaz de formar la categoría discreta de un conjunto), definir un objeto T en 2-CAT que sirva como la categoría de 2 topos, y un functor C -> T en 2-CAT.

Answer 1

Mi opinión personal es que se debe considerar la 2 categorías de categorías, en lugar de la categoría 1 de categorías. Creo que los axiomas que uno quiere para tal "ET2CC" serán algo como:

• En primer lugar, algunos axiomas de exactitud que equivalen a que sea un "2-pretopos" en el sentido que he descrito aquí: http://ncatlab.org/michaelshulman/show/2-categorical+logic . Esto le da una "lógica interna" como la de un (pre)topos ordinario.
• En segundo lugar, la existencia de ciertos exponenciales (esto es opcional).
• En tercer lugar, la existencia de una "opfibración discreta clasificatoria" $el\to set$ en el sentido introducido por Mark Weber ("Yoneda structures from 2-toposes") que sirve como "la categoría de conjuntos", y satisface internamente algunos axiomas adecuados.
• Por último, un axioma de "buen punto" que dice que el objeto terminal es un generador, como es el caso de un nivel inferior en ETCS. Esto es lo que dice que tienes una 2-categoría de categorías, en lugar de (por ejemplo) una 2-categoría de pilas.

Una vez que se tiene todo esto, se pueden utilizar los límites 2-categóricos finitos y la "lógica interna" para construir todas las categorías concretas habituales a partir del objeto "conjunto". Por ejemplo, "conjunto" tiene productos finitos internamente, lo que significa que los morfismos $set \to 1$ et $set \to set \times set$ tienen contiguos derechos en nuestra categoría 2 Cat (es decir, el "conjunto" es un "objeto cartesiano" en Cat). El compuesto $set \to set\times set \to set$ de la diagonal con el morfismo "productos binarios" es el "functor" que, intuitivamente, toma un conjunto $A$ al conjunto $A\times A$ . Ahora el límite 2-categórico llamado "insertador" aplicado a este compuesto y la identidad de "conjunto" puede considerarse "la categoría de conjuntos $A$ equipado con una función $A\times A\to A$ , es decir, la categoría de los magmas.

Ahora tenemos un functor de olvido $magma \to set$ y también un functor $magma \to set$ que lleva un magma al triple producto $A\times A \times A$ , y hay dos celdas 2 que relacionan estas construidas a partir de dos compuestos diferentes de la celda 2 de inserción que definen la categoría de los magmas. El "equiparador" (otro límite 2-categórico) de estas 2-células tiene sentido llamarlo "la categoría de semigrupos" (conjuntos con una operación binaria asociativa). Procediendo de este modo podemos construir las categorías de monoides, grupos, grupos abelianos y, finalmente, anillos.

Una forma más directa de describir la categoría de anillos con una propiedad universal es la siguiente. Dado que $set$ es un objeto cartesiano, cada homocategoría $Cat(X,set)$ tiene productos finitos, por lo que podemos definir la categoría $ring(Cat(X,set))$ de anillos internos. Entonces la categoría $ring$ está dotado de un functor de olvido $ring \to set$ que tiene la estructura de un anillo en $Cat(ring,set)$ y que es universal en el sentido de que tenemos una equivalencia natural $ring(Cat(X,set)) \simeq Cat(X,ring)$ . La construcción anterior sólo muestra que tal objeto representativo existe siempre que Cat tenga una estructura finita adecuada.

Se puede esperar una teoría elemental similar de la 3-categoría de 2-categorías, y así sucesivamente en la escalera, pero no está tan claro para mí todavía cuáles serán las propiedades de exactitud apropiadas.

Answer 2

Acabo de encontrarme con tu pregunta ahora. Me he dado cuenta de que hace más de un año que se formuló, pero como la pregunta no está cerrada y resulta que tengo a mano algunas referencias (ya que llevaba tiempo interesándome por este tipo de desarrollos), tal vez deberías echar un vistazo a las siguientes propuestas.

El artículo original de Lawvere era, en efecto, defectuoso, como lo revisó el profesor Isbell. Algo que más tarde se conoció como "teorema de la descripción de la categoría", una forma de generar objetos en la teoría (es decir, categorías) a partir de alguna descripción de su estructura intuitiva, resultó no ser demostrable en la teoría original. Una revisión exhaustiva del documento, incluyendo formas de arreglar esto y ahorrar una parte considerable, se puede encontrar en: Blanc G., Preller A., La teoría básica de Lawvere sobre la categoría de categorías . Revista de Lógica Simbólica 40 (1975, nº 1), 14-18 (doi: 10.2307/2272263 , JSTOR ).

Las propuestas posteriores también intentan abordar el punto del "teorema de la descripción de la categoría" tomando una variante del mismo como axioma. Esto se hace en Blanc G., Donnadieu M. R., Axiomatización de la categoría de categorías . Cuadernos de topología y geometría diferencial 17 (1976, nº 2), 1-35 ( Numdam ).

Finalmente, McLarty propuso una axiomatización limpia, elegante y bien presentada en la que se dan pruebas de independencia y consistencia relativa. Esto se puede encontrar en McLarty, C., Axiomatización de una categoría de categorías . Revista de Lógica Simbólica 56 (1991, nº 4), 1243-1260 (doi: 10.2307/2275472 , JSTOR ). La teoría de McLarty estaba pensada para ser tomada en conjunto con ciertos axiomas para categorías específicas o funtores necesarios para propósitos específicos.

Pero creo que estas tres propuestas son capaces de formular los tres puntos que ha mencionado en la primera parte de su pregunta. Para algunos otros propósitos habría que examinarlas más detenidamente.

Answer 3

Hay una discusión sobre esto en el nlab:

http://ncatlab.org/nlab/show/foundations#categorial_foundations_of_category_theory_5

Esa página es una de las, ejem, menos enciclopédicas del n-lab, pero aun así tiene bastante discusión sobre este tema. Por supuesto, eres bienvenido a unirte a la discusión allí.

¿Es eso una ayuda?

( Editar (enlace corregido a la parte pertinente de la página de n-lab según el comentario de Mike Shulman)