"La compacidad en la medida" en los espacios de funciones

Question

En el capítulo 4.9 del libro "Measures of Noncompactness and Condensing Operators" (Vol. 55 de Operator Theory: Advances and Applications), los autores mencionan la propiedad "compacidad en la medida". Dicen

Aquí compacidad en la medida significa compacidad en el espacio normado $S$ de todas las funciones medibles y finitas en casi todas partes $x$ , dotado de la norma

$$||x|| = \inf_{s>0} \{s + \text{mes} \{t \, : \, |x(t)| \geq s\}\}$$

Dónde " $\text{mes} \, D$ " es la medida del conjunto $D$ .

Mis preguntas son: ¿Esta propiedad tiene otros nombres? ¿Y hay buenas fuentes en inglés que la mencionen?

Las únicas fuentes que he encontrado que lo utilizan son documentos de N. A. Erzakova, no todos traducidos al inglés, y posiblemente un documento en ruso de P. P. Zabreiko.

Answer 1

Probablemente los autores se refieren al espacio $L_0(\mu)$ de todas las (clases de equivalencia) de funciones medibles. Se trata de un espacio métrico completo en la métrica que he mencionado en un comentario anterior o, lo que se acerca más a la cita en la pregunta, para la métrica equivalente dada por $d'(f,g)=\inf_{s>0} \{s+\mu\{|f-g|\ge s\}\}$ es decir, $d'(f,g)=\|f-g\|$ en la notación de la pregunta. Pero tenga en cuenta que $\|\,.\,\|$ no es una norma; $L_0(\mu)$ es un espacio métrico completo no convexo localmente. Esta topología sobre $L_0$ se denomina topología de convergencia en medida, y se utiliza el epíteto "en medida" para referirse a esta topología, de ahí las frases "cerrada en medida" o "compacta en medida". Una referencia fundamental para los conjuntos cerrados en medida es A.V. Bukhvalov, G.Ya. Lozanovskij, On sets closed in measure in spaces of measurable functions. Trans. Mosc. Math. Soc. 34, 127-148 (1978). En cuanto a los conjuntos compactos en la medida, véase G. Godefroy, N. Kalton, D. Li, On subspaces of $L_1$ que se incrustan en $\ell_1$ . J. Reine Angew. Math. 471, 43-75 (1996).