construir un producto de dos categorías

Question

MacLane, al igual que probablemente cualquier otro libro de categorías, no duda en definir un producto de dos categorías como una categoría formada por pares de objetos, etc.

Ahora mi pregunta es: ¿qué ley de la naturaleza o de la lógica o de lo que sea permite crear tales pares? La creación de pares puede ser un axioma, digamos, en la teoría de conjuntos. En la teoría de categorías no existe tal cosa; parece que simplemente caen del cielo, teniendo en cuenta que la teoría de categorías no se basa en absoluto en conjuntos. A mí me parece bastante sospechoso; pero quizá me equivoque.

¿Algún comentario?

P.D. Una pregunta aún más curiosa es sobre la unión disjunta de dos categorías (no pequeñas).

Answer 1

Mi copia del libro de Mac Lane está a unos cuantos miles de kilómetros de mí en este momento, así que lo siguiente se basa en una memoria posiblemente defectuosa, pero aquí va de todos modos: Mac Lane trabaja en un sistema fundacional de teoría de conjuntos, algo así como ZFC más un universo de Grothendieck. Así que no tiene ningún problema con la existencia de pares ordenados.

Hay gente que quiere utilizar las categorías como sistema fundacional, sin depender de la teoría de conjuntos. Estas personas tienen que diseñar su sistema fundacional de forma que se garantice la existencia de productos de categorías y muchas otras cosas que normalmente proporcionaría un fundamento basado en conjuntos.