Quiero mostrar $X$ es independiente de $X$ si y sólo si $X$ es una variable aleatoria degenerada .

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal B, P)$ Entonces, demuestre que $X$ es independiente de $X$ si y sólo si $X$ es una variable aleatoria degenerada .
(es decir, hay un $c \in \mathbb R$ tal que $X=c$ casi en todas partes)

Answer 1

Tenemos $\mathbb P\{X\geqslant c\}\in\{0,1\}$ para cada $c$ . Definir $$c_0:=\inf\{c\mid \mathbb P\{X\geqslant c\}=0\}$$ y demostrar que $X=c_0$ casi en todas partes.