Asintótica más fuerte de las sumas parciales de la función zeta primera

Question

Ayer se me ocurrió una expansión asintótica para las sumas parciales de la función zeta primera $$\mathcal P(x)=\sum_{p\le x}\frac1{p^s},\quad p\in\Bbb P$$ con la restricción adicional de que $s\in\Bbb Z^+\setminus\{1\}$ . Esto se hizo considerando primero la suma $$A(x)=\sum_{n\le x}\frac{a(n)}n\log n=\log x+\mathcal O(1)$$ donde $a(n)=1$ si y sólo si $n\in\Bbb P$ y utilizando la fórmula de suma de Abel para dar $$B(x)=\sum_{n\le x}\frac{a(n)}{n^s}\log n=x^{1-s}A(x)+(s-1)\int_1^x\frac{A(t)}{t^s}\,dt=\mathcal O(1-x^{1-s}).$$ La fórmula de suma de Abel se utilizó una vez más para dar $$\mathcal P(x)=\frac{B(x)}{\log x}+\int_2^x\frac{B(t)}{t\log^2t}\,dt=\mathcal O\left(\int_2^x\frac{1-t^{1-s}}{t\log^2t}\,dt\right)$$ como una expansión asintótica (también se puede escribir en términos de la función integral exponencial). Sin embargo, esto no es demasiado significativo, ya que el lado derecho consiste en $\mathcal O$ sólo términos.

¿Existen mejores expansiones asintóticas de $\mathcal P(x)$ (en la literatura o de otra manera) que incluyen no $\cal O$ ¿también los términos?

Answer 1

Realmente tienes que entender que $\sum_{p\le x} p^{-s}$ es sólo una versión ofuscada de $$\sum_{n\le x} \Lambda(n) n^{-s}= \frac1{2i\pi} \int_{2-i\infty}^{2+i\infty} \frac{-\zeta'(z+s)}{z\zeta(z+s)}x^{z}dz$$ $$=Res(\frac{-\zeta'(z+s)}{z\zeta(z+s)}x^{z},1-s)+Res(\frac{-\zeta'(z+s)}{z\zeta(z+s)}x^{-z},0)-\frac1{2i\pi} \int_{\sigma_0-\Re(s)+\epsilon-i\infty}^{\sigma_0-\Re(s)+\epsilon+i\infty} \frac{-\zeta'(z+s)}{z\zeta(z+s)}x^{z}dz$$ $$ = \frac{x^{1-s}}{1-s}-\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}+O(x^{\sigma_0-\Re(s)+\epsilon})$$

donde $\sigma_0=\sup_\rho \Re(\rho)$ es $1/2$ si la RH es verdadera.

Con la PNT sólo sabemos que $\sigma_0\le 1$ y necesitamos reemplazar $\int_{\sigma_0-\Re(s)+\epsilon-i\infty}^{\sigma_0-\Re(s)+\epsilon+i\infty}$ por una integral sobre la frontera de la región libre de ceros obteniendo $\sum_{n\le x} \Lambda(n) n^{-s}=\frac{x^{1-s}}{1-s}-\frac{\zeta'(z)}{\zeta(z)}+ O(x^{1-\Re(s)}e^{-\log^{1/10}(x)})$ .