Cuestiones generales sobre las series de Eisenstein y las formas modulares

Question

Estoy en una situación en la que estoy tratando de conseguir una sensación para el tipo de formas modulares, pero no tengo a nadie para hablar de ello (no estoy en la academia en este momento). Me gustaría poner a prueba mi comprensión de las series de Eisenstein y las formas modulares haciendo algunas preguntas relacionadas. No estoy pidiendo respuestas analíticas en profundidad, sino simplemente tener una idea del panorama general.

Dejemos que $M_k$ sea el espacio ambiental de las formas modulares de peso $k$ .

1. Es un hecho que $M_k$ es la suma directa del subespacio de formas de cúspide, $S_k$ y el subespacio de las series de Eisenstein, $E_k$ . Mi pregunta es si la dimensión de $E_k$ igual al número de cúspides (es decir, clases de equivalencia de $\mathbb{Q}\cup \{\infty\}$ ).

EDIT: Ya se ha contestado.

1. Digo lo anterior, porque mi entendimiento es que cada serie "base" de Eisenstein está asociada unívocamente a alguna cúspide. Por ejemplo el tipo clásico $$\mathcal{E}(z):=\sum_{(c,d)\neq(0,0)} (cz+d)^{-k}$$ está asociada, según tengo entendido, a la cúspide que contiene $\infty$ ya que $$\mathcal{E}(\infty)=\sum_{d\neq 0} (d)^{-k}\neq 0.$$ ¿Existe una idea intuitiva de lo que significa que esta serie de Eisenstein esté "asociada" a la cúspide en $\infty$ ? ¿Es sólo la no evasión? Eso no parece del todo correcto, ya que de lo contrario una combinación lineal de series de Eisenstein produciría una forma de cúspide, lo cual es imposible.

2. ¿Existe un hecho similar "de improviso" sobre la dimensión de $S_k$ ? ¿O es más sutil?

3. ¿Es posible que una serie de Eistenstein sea cero en una de las cúspides (obviamente no puede ser cero en absoluto)?

Answer 1

La idea general es que, dado un subgrupo $\Gamma$ de índice finito dentro de $SL_2(\mathbb Z)$ (aunque también se suele exigir que este subgrupo sea definible mediante "condiciones de congruencia" sobre las entradas), el cociente $X=\Gamma\backslash{\mathfrak H}$ del semiplano superior $\mathfrak H$ por $\Gamma$ necesita que se le añadan un número finito de puntos para "compactarlo". Son las "cúspides". Con un número fijo de $\Gamma$ y "peso" fijo $k$ El cuspforms son los pesos holomórficos- $k$ formas modulares "que desaparecen en todas las cúspides". (Como las formas modulares holomorfas no son realmente invariantes por $\Gamma$ Esta noción de desvanecimiento incluye algunos tecnicismos...) Para incluso peso $2k>2$ la dimensión del espacio de peso- $2k$ formas modulares holomorfas modulo cuspformes es igual al número de cúspides. (Para el peso impar $2k+1$ , en función de $\Gamma$ Algunas cúspides pueden ser "irregulares", o algún otro modificador, en el sentido de no admitir ninguna forma modular holomorfa no evanescente...) Por lo tanto, al menos para el peso par, en relación con la $\Gamma$ hay una serie de Eisenstein unida a cada cúspide, que toma allí un valor distinto de cero, y el valor $0$ en todas las demás cúspides.

¿Cómo exponerlos/construirlos? La acción de $\Gamma$ se extiende a la compactación, y el subgrupo de isotropía (=estabilizador) $\Gamma_\sigma$ de una cúspide determinada $\sigma$ tiene sentido. La serie de Eisenstein correspondiente es una suma sobre $\Gamma_\sigma\backslash \Gamma$ ... Para $\Gamma=SL_2(\mathbb Z)$ hay una única (clase de equivalencia de) cúspide, $i\infty$ y la expresión escrita en la pregunta es una versión formulista de la correspondiente formación de la serie de Eisenstein como suma sobre un espacio coset de este tipo.

Las dimensiones de los espacios de las cuspformas holomorfas son computables mediante Riemann-Roch, en efecto. Esto es más sutil que el cálculo de las dimensiones de los espacios de las series holomorfas de Eisenstein.