Intuición de la curvatura en la geometría de Riemann

Question

Estudiando las distintas nociones de curvatura, no he conseguido intuirlas y comprenderlas en profundidad más allá de sus definiciones.

Permítanme primero dar las definiciones que conozco. En todo momento, consideraré un $m-$ dimensional de Riemann $(M,g)$ equipado con conexión Levi-Civita $\nabla$ .

Hemos definido Tensor de curvatura de Riemann para ser la colección de mapas trilineales $$R_p:T_pM \times T_pM \times T_pM \to T_pM, \ (u,v,w)\mapsto R(X,Y)Z(p), \quad p\in M$$ donde $X,Y,Z$ son campos vectoriales definidos en alguna vecindad de $p$ con $X(p)=u,Y(p)=v,Z(p)=w$ y $R(X,Y)Z:=\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_X\nabla_YZ+\nabla_{[X,Y]}Z.$ Esta parece ser una definición puramente algebraica; no veo ninguna geometría aquí.

El segundo es el curvatura de la sección. Para $p \in M$ tomemos un subespacio bidimensional $E \leq T_pM.$ Supongamos que $(u,v)$ sea la base de $E$ . A continuación, definimos el curvatura de la sección $K(E)$ de $M$ en $p$ con respecto a $E$ como $$K(E)=K(u,v):=\frac{\langle R(u,v)v,u\rangle}{\langle u,u\rangle\langle v,v\rangle-\langle u,v\rangle^2}.$$ La tercera es la Curvatura de Ricci. Dejemos que $p\in M$ y $x\in T_pM$ sea un vector unitario. Sea $(z_1,\cdots,z_m)$ sea una base ortonormal de $T_pM$ s.t. $z_m=x.$ El Curvatura de Ricci de $M$ en $p$ con respecto a $x$ es $$Ric_p(x):=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^{m-1}K(x,z_i)$$ donde $K(x,z_i)$ es la curvatura seccional definida anteriormente.

Finalmente la curvatura escalar de $M$ en $p$ se define como $$K(p):=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m Ric_p(z_i).$$

Mis preguntas se refieren a la comprensión de estas cuatro nociones más allá de las definiciones. ¿Cómo debo pensar en cada una de ellas? ¿Están relacionadas entre sí en el sentido de que una noción de curvatura es más fuerte que otra? Lo siento si estas preguntas son demasiado para un solo post.

Answer 1

He aquí un relato brutalmente escueto (y ligeramente impreciso, aunque "moralmente correcto") que espero transmita el contenido geométrico.

En una variedad riemanniana, un vector tangente puede ser transportado de forma única a lo largo de un tramo $C^{1}$ camino por transporte paralelo una noción geométrica.

Si $X$ y $Y$ son vectores tangentes en un punto, y si un vector tangente $Z$ se lleva alrededor del "pequeño paralelogramo con lados $tX$ y $tY$ ", el vector traducido en paralelo es, de segundo orden, $Z + t^{2} R(X, Y) Z$ . Cualitativamente, la curvatura mide el fracaso de la conmutatividad de los operadores de diferenciación covariante a lo largo de $X$ y a lo largo de $Y$ ; transporte en paralelo de un marco ortonormal $F$ alrededor de un pequeño paralelogramo provoca $F$ para girar una cantidad lineal en cada uno de $X$ y $Y$ .

Si un par ortonormal (ordenado) $(e_{1}, e_{2})$ se transporta en paralelo alrededor de un pequeño cuadrado de lados $te_{1}$ y $te_{2}$ gira un ángulo (aproximadamente) igual a $t^{2}K(e_{1}, e_{2})$ . Alternativamente, si te conformas con la curvatura gaussiana como cantidad intrínseca, la curvatura seccional de un $2$ -avión $E$ en $p$ es la curvatura gaussiana de la imagen de $E$ bajo el mapa exponencial en $p$ .

La curvatura de Ricci de un vector unitario $u$ en $p$ es la media de las curvaturas seccionales de todos los $2$ -aviones en $p$ que contiene $u$ .

La curvatura escalar en $p$ es la media de todas las curvaturas seccionales de $2$ -aviones en $p$ .

(Como en las fórmulas que das, los promedios en las curvaturas de Ricci y escalares suelen definirse y calcularse como promedios finitos sobre pares de vectores adecuados de una base ortonormal, pero en realidad los promedios pueden tomarse de forma continua, como se ha descrito anteriormente).