Radio espectral de un gráfico

Question

Investigué sobre el radio espectral y me confundí. Hay dos definiciones.

1. El radio espectral de un grafo finito se define como el radio espectral de su matriz de adyacencia. el radio espectral de una matriz cuadrada es el mayor valor absoluto de sus valores propios.

2. El mayor valor propio del espectro de un gráfico es el radio espectral de un gráfico.

¿Cuándo son equivalentes? Si el gráfico está conectado, ¿estas definiciones son equivalentes?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Por el Teorema de Perron-Frobenius :

• Si $A$ es un $n\times n$ matriz real con estrictamente positivo entradas, tiene un valor propio real positivo $r$ tal que cualquier otro valor propio $\lambda$ satisface $|\lambda| < r$ . También hay otras cosas sobre el vector propio asociado a $r$ que no necesitas aquí.
• Si $A$ es un $n \times n$ matriz real con no negativo entradas, entonces sólo podemos decir $|\lambda| \le r$ para otros valores propios. El valor propio $r$ podría aparecer varias veces, podríamos tener valores propios complejos con valor absoluto $r$ y así sucesivamente.

El segundo caso se aplica en particular a las matrices de adyacencia de los grafos. (Además, éstas son simétricas, por lo que todos sus valores propios son reales). Por tanto, el radio espectral es $r$ y es tanto el mayor valor propio como el mayor valor absoluto de un valor propio: sus definiciones son equivalentes.

Además, si el grafo está conectado, la matriz de adyacencia es una matriz irreducible, y el teorema de Perron-Frobenius nos dice además que el valor propio $r$ es simple (sólo aparece una vez, tanto algebraica como geométricamente). Pero no necesitamos que el gráfico esté conectado para que las definiciones sean equivalentes.

Answer 2

Si el valor propio de mayor norma fuera negativo, entonces $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i^k$ sería negativo para valores Impares grandes de $k$ .

Sin embargo, sabemos que $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i^k = \operatorname{Tr}(A^k)$ y esta última cantidad es no negativa ya que la diagonal de $A^k$ es claramente no negativo. Concluimos que no puede haber un valor propio negativo con norma estrictamente mayor que todos los demás valores propios.