Así, la expresión dada es $$\binom{2n}{2} = 2\binom{n}{2}+n^2$$
La tarea es dar una prueba combinatoria para ello.
El lado izquierdo de la identidad es obviamente igual al número de opciones para elegir 2 elementos del conjunto con cardinalidad $2n$ .
Lo que me preocupa es que no se me ocurre ninguna forma de separar eso en dos casos disjuntos que tendrían $2\binom{n}{2}$ y $n^2$ diferentes opciones (lo que, creo, está previsto que ocurra).
Cualquier sugerencia sería útil.
Considera dos conjuntos:
$A=$ { $a_1,a_2,....a_n$ }, y
$B=$ { $b_1,b_2,..., b_n$ }, todos los elementos distintos.
LHS:
El número de formas de elegir $ 2$ elementos de $A\cup B$ :
$\binom{2n}{2}.$
RHS:
Elija $2$ elementos de $A$ o de $B$ :
En $2\binom{n}{2}$ maneras
La mezcla:
$S_{i,k} =$ { $a_i,b_k$ } , $1\le i,k \le n$ .
Cuántos conjuntos diferentes $S_{ik}$ ?
$n$ formas de elegir $A$ y $n$ formas de elegir $B$ :
En total: $n^2$ formas.
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