Si $\alpha \cosh (x/\alpha)$ es una solución a $f'f''^2=f'''(1+f'^2)$ ¿podría llegar a la conclusión de que ésta es la única respuesta?

Question

Al resolver un problema de física, el resultado fue esta ecuación.

$$f'f''^2=f'''(1+f'^2)$$

El problema quería la función que describe la forma de una cadena colgante. Al ver $1+f'^2$ Inmediatamente pensé en la identidad $\cosh^2x=1+\sinh^2x$ y que $(d/dx)\cosh x=\sinh x$ . Así que probé la función $A\cosh(Bx)$ para ver si esta puede ser la respuesta:

Después de conectarlo, verás esto:

$$A^2B^2\cosh^2x=1+A^2B^2\sinh^2x$$

Así que si elijo $AB:=1$ entonces $A\cosh(Bx)$ es una respuesta. Así que para todos $\alpha$ , $\alpha\cosh(x/\alpha)$ es una respuesta a la ecuación diferencial anterior.

Sé que debo utilizar un teorema para concluir la unicidad. Pero, esta ecuación está describiendo un fenómeno natural que es único, ¡Si agitas la cadena muchas veces, después de mucho tiempo, la forma final no cambiará!

En estos casos, siempre que la respuesta sea razonable (aquí es como una parábola que es razonable para una cadena colgante.), ¿podemos concluir la unicidad de la respuesta sin utilizar ningún teorema?

Answer 1

$$f'f''^2=(1+f'^2)f'''$$ Dejemos que $f'(x)=y(x) \quad\to\quad yy'^2=(1+y^2)y''$ $$\frac{y''}{y'}=\frac{yy'}{1+y^2}$$ $$2\ln|y'|=\int \frac{2y}{1+y^2}y'=\ln(1+y^2)+C$$ $$y'^2=c_1^2(1+y^2) \quad \text{with}\quad c_1=\pm e^{C/2}$$ $$y'=c_1\sqrt{1+y^2}$$ $$\frac{dy}{\sqrt{1+y^2}}=c_1dx$$ $$\sinh^{-1}(y)=c_1x+c_2$$ $$y=\sinh(c_1x+c_2)$$ $f(x)=\int ydx$ $$f(x)=\frac{1}{c_1}\cosh(c_1x+c_2)+c_3$$ Dejemos que $c_1=\alpha \quad\to\quad f(x)=\frac{1}{\alpha}\cosh(\alpha x+c_2)+c_3$

Así, $\quad f(x)=\frac{1}{\alpha}\cosh(\alpha x)\quad$ no es la única solución ya que hay infinidad de otras soluciones con $c_2\neq 0$ y/o $c_3\neq 0$

Pero si se especifican unas condiciones de contorno bien planteadas que permitan determinar un valor único de $c_2$ y un valor único de $c_3$ en ese caso la solución $\quad f(x)=\frac{1}{\alpha }\cosh(\alpha x+c_2)+c_3\quad $ es único.

Además, si esas condiciones de contorno son particulares de manera que conducen a $c_2=0$ y $c_3=0$ , entonces la solución $\quad f(x)=\frac{1}{\alpha }\cosh(\alpha x)\quad $ es único.

No se puede responder sobre la unicidad de la solución si no se dan explícitamente las condiciones de contorno.

Por supuesto, todas las soluciones particulares que pertenecen a la solución general de la EDO están relacionadas entre sí por traslación. Esto significa que el patrón es único para una $\alpha$ dado.