¿Cuál es el problema de la solución de mi problema de rayas deportivas?

Question

El problema es del libro "Think stats". Está formulado de la siguiente manera:

Si hay 10 jugadores en un partido de baloncesto y cada uno lleva 15 tiros en el transcurso del partido, y cada tiro tiene un 50% de probabilidad de entrar, ¿cuál es la probabilidad de ver, en un partido determinado, al menos un jugador que encaje 10 tiros seguidos? Si usted sesión de 82 partidos, ¿cuál es la probabilidad de ver al menos una al menos una racha de 10 aciertos o fallos?

Mi solución:

1. Calcular la probabilidad de racha de un jugador en un partido. La probabilidad de una racha es la suma de las probabilidades de acertar 10, 11, 12, 13, 14 o 15 golpes de 15 intentos. Si B(k, n, p) es el PMF de la distribución binomial (n - ensayos, k - éxitos, p - probabilidad de éxito) y es igual a la probabilidad de que exactamente k ensayos de éxito de n total de ensayos con cada uno de ellos con p probabilidad entonces

   P(S) = B(10) + B(11) + B(12) + B(13) + B(14) + B(15)

2. Calcular la probabilidad de que haya al menos una racha en un juego Si hay 10 jugadores y cada uno intenta hacer una racha, la probabilidad de que haya al menos una racha es P(G)=P(S)*10

3. Calcula la probabilidad de que haya al menos una racha en el transcurso de 82 partidos: P(TOTAL)=P(G)*82

Escribí un poco de código python para calcularlo:

import math

games = 82
players = 10
shots = 15
shot_chance = 0.5
streak_size = 10

def binomial(n, k, p):
    binomial_coefficient = math.factorial(n)/ ( math.factorial(k)*math.factorial(n-k) )
    return binomial_coefficient * math.pow(p, k) * math.pow((1 - p), n-k)

#Chance that a player will make a streak
def streak_prob(shots, streak_size, shot_chance):
    return sum([binomial(shots, x, shot_chance) for x in range(streak_size, shots+1)])

probability_of_streak_in_a_game = streak_prob(shots, streak_size, shot_chance)*players
probability_of_streak_on_multiple_games = probability_of_streak_in_a_game*games
print(probability_of_streak_in_a_game, probability_of_streak_on_multiple_games)

Pero la salida me da: 1.5087890625 123.720703125 ¿Qué hay de malo en mi razonamiento? Sospecho que es el punto 1 donde calculo la probabilidad de una racha, pero estoy confundido. ¿Podría guiarme?

Answer 1

¡Qué buen problema!

¡Creo que la primera cuestión es que el hecho de que hagas 10 tiros no significa que hagas 10 seguidos, aunque eso sería cierto para 15 si sólo tiras 15!

Por ejemplo, $$P(ten-in-a-row|10-makes) = \frac{6}{15\choose{10}} =\frac{6}{3003}=\frac{2}{1001}$$ Hay 15 formas de elegir 10 de 15 canastas, pero sólo 6 de ellas (de 0 a 5 fallos antes de la racha) tienen una racha de 10.

Así que cada una de tus B (que no sea la 15) debe multiplicarse por algún factor como el anterior.

La segunda cuestión es que las probabilidades de que al menos un jugador consiga una racha en una partida determinada es $pgame=1-(1-p)^{10}$ no 10p, donde p es la probabilidad de cualquier jugador. Las probabilidades de que ninguno de n jugadores haga una racha son $(1-p)^n$ . Aunque para p pequeño, np puede ser una aproximación bastante buena.

Del mismo modo, para los 82 partidos, las probabilidades son $1-(1-pgame)^{82}$

Answer 2

A continuación se presentan tres métodos de solución diferentes para calcular la probabilidad de que un determinado jugador consiga una racha de al menos 10 canastas en un determinado partido. Creo que el método C es el más sencillo y menos propenso a errores, siempre que se puedan evaluar numéricamente las potencias de las matrices, lo que puede hacerse fácilmente en muchos entornos informáticos. No voy a discutir los párrafos 2. y 3. de la pregunta del PO, ya que se abordan en la respuesta de MikeP. La conclusión es que hay una gran probabilidad de que haya al menos una racha de al menos 10 canastas de al menos un jugador durante la temporada de 82 partidos (pero esta probabilidad es menor que uno).

Método A: Condicionar el número de canastas realizadas y utilizar la ley de la probabilidad total para hallar la probabilidad de una racha de al menos 10 canastas. Este es el método de @MikeP más o menos.

$$P(\text{streak of at least 10}) = \sum_{k=10}^{15} P(\text{streak of at least 10|exactly k baskets made}) P(\text{exactly k baskets made})$$ En primer lugar, observe que la probabilidad de hacer exactamente k canastas (no necesariamente seguidas) = ${15 \choose k} 0.5^{15}$ . Si el jugador hace exactamente 10 canastas, entonces la fracción de formas de hacer 10 canastas de MikeP que resultan en una racha de 10 canastas, multiplicada por la probabilidad de hacer exactamente 10 canastas, tiene un ${{15}\choose{10}}$ en el numerador y el denominador que se anulan, lo que da como resultado un total de 6 formas, cada una de ellas con probabilidad $0.5^{15}$ de ocurrir, para una contribución total a la suma anterior de $6 *.5^{15}$ Pero ese es el término fácil. Para 11 canastas realizadas, una racha de al menos 10 puede empezar en el tiro 1,2,3,4, o 5, y para cada uno de ellos, hay ${5\choose 1}$ posibilidades de dónde va la otra cesta. Para 12 canastas, una racha de al menos 10 puede comenzar en los tiros 1,2,3 o 4, y para cada uno de ellos, hay ${5 \choose 2}$ posibilidades de dónde van las otras 2 cestas, etc. Así que el número de posibilidades, cada una con una probabilidad de $0.5^{15}$ para conseguir una racha de al menos 10 = $$6 {5\choose0} + 5 {5\choose1} + 4 {5\choose2} + 3 {5\choose 3} + 4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5} = 112.$$ Alors $P(\text{streak of at least 10}) = 112 * .5^{15}$ .

Método B: Condición en el tiro en el que se inicia la racha de al menos 10. Entonces utiliza la ley de la probabilidad total para obtener la respuesta.

Si la racha de al menos 10 comienza en el disparo 1, entonces todo vale en los disparos 11 a 15, para un total de $2^5 = 32$ posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}.$

Si la racha de al menos 10 comienza en el tiro 2, entonces el tiro 1 debe haber sido un fallo, pero todo vale en los tiros 12 a 15, para un total de $2^4 = 16 $ posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}.$

Si la racha de al menos 10 comienza en el tiro 3, entonces el tiro 2 debe haber sido un fallo, pero todo vale en los tiros 1 y 13 a 15, para un total de $2^4 = 16 $ posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}.$

Si la racha de al menos 10 comienza en el tiro 4, el tiro 3 debe haber sido un fallo, pero todo vale para los tiros 1,2,14 y 15, para un total de $2^4 = 16$ posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}$ .

Si la racha de al menos 10 comienza en el tiro 5, el tiro 4 debe haber sido un fallo, pero todo vale para los tiros 1,2,3 y 15, para un total de $2^4 = 16$ posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}$ .

Si la racha de al menos 10 comienza en el tiro 6, el tiro 5 debe haber sido un fallo, pero todo vale para los tiros 1 a 4, para un total de $2^4 = 16$ posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}$ .

Sumando todo esto, hay (32 + 5 * 16) = 112 posibilidades, cada una con una probabilidad de ocurrencia de $.5^{15}$ . Así que hemos duplicado el resultado del método A.

Método C: Utilizar la cadena de Markov de tiempo discreto. Nota: Esto es mucho más sencillo, en mi opinión, que el recuento requerido en los métodos A y B, y más aún para otras variantes del problema (cambios en la entrada de datos, como la probabilidad de encestar, la longitud de la racha y el número de tiros)) para las que la lógica necesita ser reelaborada, y puede llegar a ser más complicada, con el fin de utilizar correctamente esos métodos, pero el enfoque de la cadena de Markov se cambia sólo de forma muy directa.

Defina una cadena de Markov homogénea en el tiempo con los estados 0, 1, ..., 10, donde el número de estado es la longitud actual de la racha. Excepto que el estado 10 es especial en el sentido de que se convierte en un estado absorbente, de modo que una vez que la cadena de Markov entra en el estado 10, se queda allí. Por lo tanto, el estado 10 realmente denota que se ha producido una racha de al menos 10, incluso si esa racha no está todavía en curso.

Cada disparo cuenta como un paso de la cadena de Markov. La cadena de Markov se inicia en el estado 0 después de 0 disparos, y hay 15 pasos hasta el final del juego. Por lo tanto, dejar que $P_{\text{one step}}$ sea la matriz de transición de un paso de la cadena de Markov, la probabilidad de interés (que un determinado jugador tenga una racha de al menos 10 en un determinado juego) es igual al elemento de estado 0 (fila) a estado 10 (columna) de $P_{\text{one step}}^{15}$ .

Aquí está $P_{\text{one step}}$ con los estados ordenados de 0 a 10. Para cada estado i, distinto del 10, hay una probabilidad de 0,5 de transitar al estado i+1 (ocurre si se hace la canasta), y una probabilidad de 0,5 de transitar al estado 0 (ocurre si se falla). El estado 10 sólo transita al estado 10 por construcción como estado absorbente (una vez que se ha producido una racha de al menos 10, esa racha no se puede quitar durante el resto del juego).

0.5000   0.5000        0        0        0        0        0         0        0        0       0
0.5000        0   0.5000        0        0        0        0         0        0        0       0
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0.5000        0        0        0        0        0   0.5000         0        0        0       0
0.5000        0        0        0        0        0        0    0.5000        0        0       0
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0.5000        0        0        0        0        0        0         0        0   0.5000       0
0.5000        0        0        0        0        0        0         0        0        0  0.5000
     0        0        0        0        0        0        0         0        0        0  1.0000

Realiza el cálculo descrito anteriormente, y voilá, la respuesta coincide con los métodos A y B.