Comprensión de la definición de conjuntos densos en ninguna parte en la obra de Abbott Understanding Analysis

Question

En primer lugar, siento haber hecho una pregunta sobre la comprensión de una definición en un libro llamado Understanding Analysis. Pero es la primera vez que me encuentro con la topología básica, así que espero que me disculpen. He buscado en preguntas anteriores como este et este . He mirado al wiki página. Todavía me cuesta entender la siguiente definición:

Un conjunto $E$ no es denso en ninguna parte si $\overline E$ (el cierre de $E$ ) no contiene intervalos abiertos no vacíos.

No estoy familiarizado con otros conceptos de topología que no están disponibles en el Abbott's Understanding Analysis como bolas o interior. Conozco un conjunto $A$ es denso en $B$ si y sólo si $\overline A = B$ . Por ejemplo, $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ porque sus puntos límite son todos números reales y su cierre da $\mathbb R$ . De la misma manera, $\mathbb Z$ no es denso en $\mathbb R$ porque no tiene puntos límite y por tanto su cierre es él mismo.

Según mis conocimientos sobre la densidad, ¿podría ayudarme a entender la definición anterior con un ejemplo?

Answer 1

El conjunto no denso en ninguna parte es un refuerzo de la condición "no denso" (todo conjunto no denso en ninguna parte es no denso, pero lo contrario es falso). Otra definición de no denso en ninguna parte que puede ser útil para intuirlo es que un conjunto $S \subset X$ no es ningún conjunto denso en $X$ si y sólo si no es denso en ningún subconjunto abierto no vacío de $X$ (con la topología del subconjunto).

Por ejemplo, $\mathbb{Z}$ no es denso en ninguna parte $\mathbb{R}$ porque es su propio cierre, y no contiene ningún intervalo abierto (es decir, no hay $(a, b)$ s.t. $(a, b) \subset \mathbb{\bar{Z}} = \mathbb{Z}$ . Un ejemplo de un conjunto que no es denso, pero que no es denso en ninguna parte, sería $\{x \in \mathbb{Q} \; | \; 0 < x < 1 \}$ . Su cierre es $[0, 1]$ que contiene el intervalo abierto $(0, 1)$ . Utilizando la definición alternativa, se puede observar que el conjunto es denso en $(0, 1) \subset \mathbb{R}$ .

Un ejemplo de un conjunto que no es cerrado pero que no es denso es $\{\frac{1}{n} \; | \; n \in \mathbb{N}\}$ . Tiene un punto límite que no está en el conjunto (a saber $0$ ), pero su cierre sigue sin ser denso porque ningún intervalo abierto cabe dentro de $\{\frac{1}{n} \; | \; n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$ .

Answer 2

No estoy muy familiarizado con lo que hay en el libro de Abbott Comprender el análisis pero intentaré pasar de la densidad a la no densidad utilizando conjuntos abiertos. Esto es principalmente para dar otra forma de ver estos conjuntos.

Como probablemente haya visto, un conjunto $A$ es denso en $\mathbb{R}$ (o, respectivamente, cualquier espacio topológico $X$ ) si $\overline{A} = \mathbb{R}$ (respectivamente, $\overline{A} = X$ ). Una caracterización equivalente de estos conjuntos es la siguiente:

Es un hecho: $A$ es denso si y sólo si $A \cap U \neq \emptyset$ para todo conjunto abierto no vacío $U$ .

Ser "no denso" sería lo contrario de esto: "hay un conjunto abierto no vacío $U$ que es disjunta de $A$ ". Pero un conjunto "no denso" puede seguir siendo "denso en alguna parte". Por ejemplo $A = ( - \infty , -1 ) \cup ( 1 , + \infty )$ no es densa (ya que es disjunta del conjunto abierto no vacío $(-1.1)$ ), pero todo conjunto abierto no vacío que no sea un subconjunto de $(-1,1)$ tiene una intersección no vacía con $A$ .

Así que podemos intentar reforzar la condición de "no denso". Un primer intento sería "tiene intersección vacía con todo conjunto abierto no vacío". Desgraciadamente, esta propiedad no es realmente útil, ya que sólo se cumple con el conjunto vacío.

Así que podemos intentar algo intermedio entre "no denso" y la condición "vacío" anterior. Nos gustaría decir que $A$ tiene una intersección vacía con "muchos" conjuntos abiertos. Una opción es decir que mientras $A$ puede tener una intersección no vacía con un conjunto abierto no vacío $U$ podemos encoger $U$ a otro conjunto abierto no vacío $V$ que es disjunta de $A$ . Esto resulta ser equivalente a la "densidad de ninguna parte".

Veamos $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Z}$ y el conjunto ternario de Cantor $C$ como subconjuntos de $\mathbb{R}$ :

• Bueno, sabemos que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ por lo que tiene intersección no vacía con todo conjunto abierto no vacío. Por tanto, este conjunto no puede ser denso en ninguna parte. (En realidad, esto demuestra que ningún conjunto denso puede ser denso en ninguna parte).

• Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}$ . Si $U \cap \mathbb{Z}$ es no vacía, pero $n$ en la intersección. Por definición de la apertura hay un $\varepsilon > 0$ tal que $( n - \varepsilon , n + \varepsilon ) \subseteq U$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $\varepsilon \leq 1$ . Pero ahora $( n , n + \varepsilon )$ es un subconjunto abierto no vacío de $U$ que es disjunta de $\mathbb{Z}$ .

• Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}$ con intersección no vacía con $C$ . Recogiendo $x \in C \cap U$ hay un $\varepsilon > 0$ tal que $( x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subseteq U$ . Escoge $n$ tan grande que $3^{-n} \leq \varepsilon$ . Como $x \in C$ entonces $x$ es un elemento del $n$ -en la construcción habitual de $C$ (eliminando los tercios centrales). Recordemos que en esta etapa es la unión de intervalos cerrados disjuntos de longitud $3^{-n}$ (sí, voy a empezar con el $0$ la etapa que se está llevando a cabo $[0,1]$ ). Se deduce que el intervalo cerrado, llámese $[a,b]$ En esta etapa que contiene $x$ es un subconjunto de $( x - \varepsilon , x + \varepsilon ) \subseteq U$ . Pero entonces el tercio medio abierto de este intervalo cerrado $( a + \frac{b-a}3 , b - \frac{b-a}3 )$ se elimina en la siguiente etapa de la construcción iterada de $C$ y, por tanto, es disjunta de $C$ y también es un subconjunto de $U$ .

(Hay que admitir que el uso de la definición de libro de texto de la densidad de la nada hace que sea algo más fácil demostrar que $\mathbb{Z}$ et $C$ no son densos en ningún sitio, pero como he dicho arriba, sólo estoy tratando de proporcionar otra forma de ver esta propiedad).

Answer 3

Muy buenas explicaciones en las dos respuestas anteriores, pero poner las cosas en el escenario simple de abajo parece reflejar mejor la idea detrás de la noción de ninguna parte densa conjunto. A pesar de que la pregunta original insiste en dar una respuesta sin utilizar las nociones de intervalo o conjunto abierto, creo que la propia pregunta de "¿Cómo podemos tener una comprensión más cómoda de un conjunto denso en ninguna parte?" podría ser de interés para un público más amplio.

Sólo recordar que un conjunto abierto es simplemente un elemento de un topología en un conjunto $X$ . Por ejemplo, en los números reales, los conjuntos abiertos consisten exclusivamente en el conjunto vacío, todos los intervalos y sus uniones arbitrarias; esto incluye obviamente el conjunto de los números reales como conjunto abierto.

En un espacio topológico $X$ (los que no estén familiarizados con la noción de topología, pueden pensar simplemente en el conjunto de los números reales junto con todos los intervalos y sus uniones arbitrarias como se ha mencionado anteriormente):

1. Un subconjunto $Y \subseteq X$ se llama a ser denso cuando tenemos $\overline{Y}=X.$

Un conjunto puede no ser denso, pero puede darse el caso de que sea denso localmente según un adecuado parte de todo el espacio; por lo que se puede considerar la siguiente definición:

2. Un subconjunto $Y \subseteq X$ se llama a ser en algún lugar denso si existe un conjunto abierto no vacío $U\subseteq X$ tal que tenemos $\overline{Y\cap U}=\overline{U}.$ Como se puede ver, aquí por en algún lugar nos referimos en realidad a un conjunto abierto; esta actitud parece bastante natural ya que los conjuntos abiertos constituyen en realidad la parte más fundamental de un espacio topológico.

De hecho, un subconjunto es denso en algún lugar si alguna parte de su cierre genera un conjunto abierto no vacío.

3. Un subconjunto $Y \subseteq X$ se llama ninguna parte densa Si no es el caso de que esté en algún lugar denso. Es fácil ver que $Y$ no es denso en ninguna parte si y sólo si $\overline{Y}$ no contiene un conjunto abierto no vacío; esto último es equivalente a la definición estándar de conjunto denso en ninguna parte.

Dejando de lado los casos triviales, es interesante observar que si $X$ es Hausdorff y contiene un subconjunto denso $Y,$ entonces tomando cualquier subconjunto abierto $U\subseteq X$ podemos demostrar que el cierre de $Y\cap U$ es igual al cierre de $U.$ Por lo tanto, podemos construir muchos conjuntos no densos en algún lugar denso en $X.$

Answer 4

Bien, se puede pensar que la densidad (o la no densidad) es una característica relativa de un conjunto en el que la densidad no es una característica individual.

Digamos por ejemplo , $\mathbb{Q}$ es denso para $\mathbb{R}$ pero no a sí mismo donde $\mathbb{Z}$ es denso para sí mismo, pero no para cualquier otro conjunto que lo incorpore. Por lo tanto, la densidad depende de cómo se incrusta un conjunto.

Por otro lado, puede ver que no importa qué conjunto incorpore $\mathbb{Z}$ no es denso, y lo contrario ocurre con $\mathbb{Q}$ .

Para entender mejor el escenario se puede utilizar una definición alternativa pero equivalente de conjuntos no-densos, es decir, "Un conjunto G se llamará no-denso si el cierre de G tendrá el interior vacío, es decir $G^{closure}_{int}$ = $\phi$ ."

Ahora, como $G^{closure}$ es un conjunto cerrado, si $\delta G != \phi$ cada punto límite de $G$ excepto que los puntos límite son puntos interiores . Por lo tanto, la definición anterior implica $\delta G= \phi$ o para todos $ g \in G^{closure} , g\in \delta G$ .

Ahora para cogerle el gusto a la equivalencia observa que si un conjunto no tiene un punto interior no puede tener un intervalo abierto no vacío I $\subset G$ como si la longitud del intervalo fuera l , podemos tomar un punto $i \in I$ y hacer una bola $B^{i}_{\epsilon }$ , donde $\epsilon < \frac{l}{2}$ , de tal manera que $B^{i}_{\epsilon} \subset I \subset G $ . Pero entonces i se convierte en un punto interior de G lo que es contradictorio con nuestra suposición .

Ahora puede ver los ejemplos dados anteriormente a través de él . $\mathbb{Z}$ no es denso ya que no tiene ningún punto límite. Que pasa con la secuencia , $S=\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb{N}\}$ ? Tiene el punto límite 0 pero el 0 es su punto límite [ cada n.b.d de 0 contendrá números negativos que no estarán en la secuencia ] por lo que el interior queda vacío.

¿Qué pasa con el set de cantor? Para el conjunto cantor podemos utilizar un argumento constructivo . Sea , $I= [0,1]= [0, \frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{3} , \frac{2}{3}]\cup[\frac{2}{3}, 1]$

Dejemos ahora.., $ I_{0}= [\frac{1}{3} , \frac{2}{3}]$

$[0,\frac{1}{3}]= [0,\frac{1}{9}]\cup[\frac{1}{9},\frac{2}{9}]\cup[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$

$[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{7}{9} , \frac{8}{9}]\cup[\frac{8}{9}, 1]$

Dejemos que $I_{1}=[\frac{1}{9} , \frac{2}{9}]\cup[\frac{7}{9}, \frac{8}{9}]$

Sea d(a,b)= |b-a| una métrica sobre $\mathbb{R}$ . Así pues, , $d(I_{1})=\frac{1}{3}$ et $d(I_{2})=\frac{2}{9}$ .

Siguiendo con la moda se puede ver que , $d(I_{n})= \frac{2^n}{3^n+1}$ .

Si dejamos que , $S_n= \sum_{i=0}^{n} d(I_{n})$ , como $n\rightarrow \infty$ , $S_{n}\rightarrow 1$ .

Por lo tanto, la parte excluida se convierte en todo el intervalo, de acuerdo con su definición no puede haber ningún intervalo abierto que el conjunto pueda contener, por lo que se convierte en ningún lugar denso.