No es $\{x:1=||x||\}$ ¿es siempre un conjunto cerrado y las normas no son siempre continuas? Si es así, ¿por qué la norma de una matriz se define como un sumo en lugar de un máximo?
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Si $\max$ existe, entonces $\sup$ también existe y es el mismo valor. Por lo tanto, se puede sustituir $\max$ por $\sup$ en cualquier contexto y nunca utilizar $\max$ . Una notación más coherente suele ser positiva. El diagrama de flujo para "cuándo usar $\sup$ y cuándo utilizar $\max$ " se simplifica a "utilizar $\sup$ ". (*)
De forma similar a las matrices, también verás a menudo $\|f\|_{C[a,b]} = \sup\{|f(x)|:x\in [a,b]\}$ . Esto podría ser $\max$ pero (a) no importa realmente; (b) escribir $\sup$ es coherente con lo que haríamos para las funciones discontinuas y para las funciones sobre un intervalo no acotado, si se considerara allí tal espacio.
Para las matrices, utilizando $\sup$ es coherente con lo que se hace para los operadores en espacios de dimensión infinita.
(*) En la práctica, es típico utilizar $\max$ para conjuntos finitos, donde es más fácil pensar en elegir el elemento máximo de una colección finita. También, $\max$ sigue siendo común cuando realmente importa que se alcance el máximo, por ejemplo, cuando nos preocupamos por donde se alcanza.
