Lanzar un objeto con resistencia al aire

Question

Supongamos que lanzo una pelota de 1 kg verticalmente hacia arriba a 100 m/s, con g=10 y también la resistencia del aire $0.01v^2$ . Considerando las fuerzas puedo determinar que la velocidad a la que aterriza es menor que la velocidad inicial. Pero, ¿se aplica esto a todos los casos?

Lo que quiero decir es que como para el movimiento hacia abajo la resistencia del aire actúa ahora hacia arriba, por lo que la aceleración neta hacia abajo es menor... ¿podría esto dar a la pelota más tiempo para permanecer en el aire, lo que sería suficiente para permitir que su velocidad supere su velocidad de lanzamiento? Tengo la sensación de que esto no es cierto porque violaría la conservación de la energía de algo, pero no estoy seguro de esto y agradecería que alguien me lo aclarara.

Entonces, ¿es posible que la pelota, al aterrizar en el punto de proyección, sea más rápida que cuando fue lanzada?

Answer 1

El balón siempre volverá al suelo a una baja velocidad a la que fue lanzado. Esto se debe simplemente a que debe perder energía por la resistencia del aire durante su vuelo.

La bola comienza con una energía cinética $E_0$ . Una parte de esta energía se "gasta" en levantar la pelota (es decir, se convierte en energía potencial) y otra parte se gasta en apartar el aire (es decir, la resistencia del aire - se convierte en energía cinética en las moléculas de aire que empuja). En la cima, la pelota se detiene y ahora tiene $E_p < E_0$ .

Comienza a bajar de nuevo, convirtiendo $E_p$ de nuevo en energía cinética, pero también perdiendo algo más de energía al empujar el aire de nuevo. Finalmente llega al punto de partida con $E_f < E_p < E_0$ . Así que se está moviendo más lento que cuando se fue.

Obsérvese también que si se lanza lo suficientemente alto, la resistencia del aire en el descenso (que aumenta a medida que se incrementa su velocidad) acabará equilibrando la aceleración debida a la gravedad y alcanzará velocidad terminal . Por tanto, la velocidad final en el fondo no sólo es siempre inferior a la velocidad de lanzamiento, sino que tiende a un valor máximo. A partir de una determinada velocidad de lanzamiento, siempre aterriza a la misma velocidad.

Answer 2

En el mejor de los casos, sin resistencia al aire, tu proyectil viajará a la misma velocidad a cualquier altura, independientemente de la dirección. Así que si lo lanzas hacia arriba a $v_0=100$ m/s a una altura de $0$ m, sin el arrastre del aire se moverá a una velocidad de $100$ m/s cuando cae de nuevo en tu mano.

Si consideramos el movimiento descendente del proyectil, podemos utilizar la 2ª Ley de Newton para obtener la ecuación:

$m\frac{dv}{dt}=mg-cv^2$ ,

que es una ecuación diferencial de primer orden no lineal. Resolviendo esto obtenemos la solución:

$v(t) = v_T tanh(\frac{gt}{v_T})$ , $v_T=\sqrt{\frac{mg}{c}}$

donde ( $c = 0.01$ , el coeficiente de su resistencia al aire). Resolviendo $v_T$ obtenemos $316.2$ m/s, lo que nos da la mayor velocidad posible a la que se moverá la pelota en dirección descendente.

Integrando, y suponiendo que, en el mejor de los casos (ausencia de arrastre del aire), el proyectil puede alcanzar una altura máxima de $500$ m, se puede obtener la ecuación de posición:

$y(t)=y_{max}+\frac{m}{2c}\ln{(1-\tanh{(\frac{gt}{v_T}})^2})$ ,

lo que da un tiempo de caída desde la altura máxima de aproximadamente $t=7$ s. En este momento, el $v(7)\approx70$ m/s. De hecho, notarás que la cantidad de tiempo que pasa en el aire es en realidad menor que el tiempo "ideal" (sin arrastre de aire) en el aire de $10$ s. En realidad, es una estimación optimista, teniendo en cuenta que, en presencia de la resistencia del aire, la pelota no llegará a la misma altura que alcanzaría en ausencia de la misma.

La velocidad de bajada más rápida que puede tener es $v_T=316.2$ m/s, y en el caso de una velocidad inicial de $v_0=100$ m/s, habrá reducido su velocidad a aproximadamente $70$ m/s. No hay ningún caso en el que la bola pueda viajar más rápido en el camino hacia abajo si hay fuerzas de amortiguación presentes.