Si tengo un diagrama de morfismo de esquemas que conmuta a nivel de sección global, ¿el diagrama conmuta?
Diagrama conmutativo a nivel de espacios topológicos.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Parece que este problema es equivalente a preguntar si $f,f':X\to Y$ son dos morfismos de esquemas que son iguales en los niveles de espacios topológicos y secciones globales, si podemos concluir $f=f'$ . Al menos, cualquier ejemplo de este tipo conduce a un contraejemplo de su pregunta a través del diagrama:
$\require{AMScd}$ \begin{CD} X @>{f} >> Y\\ @VV{\mathrm{id}}V @VV\mathrm{id}V\\ X @>{f'} >> Y \end{CD}
Se puede obtener un contraejemplo de la siguiente manera: recuerda si $A$ es un anillo de característica $p$ entonces el morfismo de Frobenius $a\mapsto a^p$ es un homomorfismo de anillo $A\to A$ que induce la identidad en el espacio topológico subyacente de $\operatorname{Spec}(A)$ . Por un argumento de encolado se puede concluir que cualquier esquema $X/\Bbb F_p$ tiene un endomorfismo de Frobenius $F:X\to X$ que es la identidad a nivel de los espacios topológicos y tiene un mapa sobre las secciones globales dado por $f\mapsto f^p$ .
Ahora para el contraejemplo toma $X=Y=\Bbb P^1_{\Bbb F_p}$ es decir, la línea proyectiva sobre $\Bbb F_p$ . Es un hecho habitual que $\Gamma(\Bbb P^1_k)=k$ para cualquier campo $k$ . Así, $\Gamma(X)=\Bbb F_p$ y se deduce que el endomorfismo de Frobenius para $X$ es la identidad en las secciones globales. Y también es la identidad a nivel de espacios topológicos, pero no es el morfismo de identidad.
