Comprender el empaquetamiento de esferas en dimensiones superiores

Question

En un publicación reciente por la matemática ucraniana Maryna Viazovska el problema de Kepler para la dimensión $8$ y $24$ , es decir, el empaquetamiento más denso de esferas, fue resuelto.

Hay que reconocer que es muy difícil de entender el trabajo para alguien que no esté involucrado en el campo, pero sería increíblemente valioso si, brevemente, la metodología adoptada y el principal avance pudieran explicarse a nivel conceptual. De manera que uno pueda tener una idea aproximada de cómo se llegó a la solución.

Se trata simplemente de un intento de obtener más información para comprender algunas de las ideas principales implicadas, ya que se trata de una noticia muy emocionante dado que el problema del empaquetamiento más denso de esferas en diferentes dimensiones tiene una larga historia.

Answer 1

Hay dos cosas que debes entender. La primera es cómo demostrar los límites de empaquetamiento de esferas mediante el análisis armónico ("límites de programación lineal"). Mi Notas de la conferencia del PCMI 2014 dan una exposición de esta teoría, que cubre el período hasta el artículo de Viazovska sobre las ocho dimensiones, pero sin incluirlo. Esto reduce el problema a encontrar funciones radiales en ocho y veinticuatro dimensiones con ciertas raíces y condiciones de signo, y las notas de la conferencia discuten por qué todo el mundo creía que tales funciones existían. Las propias funciones son sorprendentemente sutiles; véase este documento con Steve Miller para los experimentos numéricos y las conjeturas.

Entonces, el avance de Viazovska radica en cómo construir las funciones adecuadas. Es conveniente dividirlas en funciones propias de la transformada de Fourier, que tienen que tener raíces en determinados lugares. Una forma de verlo es que ella fuerza bruta esas raíces incluyendo un factor de seno al cuadrado que produce las raíces, y luego lo multiplica por algo que es esencialmente la transformada de Laplace de una forma (cuasi) modular. Para que esto funcione, hay que responder a tres preguntas:

1. ¿Qué tipo de formas modulares se adaptan al factor seno al cuadrado y producen funciones propias radiales de la transformada de Fourier?

2. ¿Existen tales formas modulares que den realmente las funciones deseadas?

3. ¿Cómo podemos demostrar las desigualdades que deben satisfacer estas funciones?

La metodología de Viazovska da buenas respuestas:

1. Esto equivale a identificar el nivel, el peso y la profundidad adecuados (para las formas cuasimodulares).

2. Sí. Se puede hacer ingeniería inversa en función de las propiedades deseadas.

3. De la mejor manera que se podría esperar, es decir, a nivel de la propia forma modular (en lugar de tener que preocuparse de que ocurra algo sutil en la transformada de Laplace).

Para más detalles, consulte el ocho y veinticuatro papeles dimensionales. Como señala Peter Sarnak en la obra de Erica Klarreich Artículo de Quanta La construcción real es sorprendentemente sencilla. Si se conocen los límites de la programación lineal y los datos básicos sobre las formas modulares, la prueba en sí es muy sencilla.

Answer 2

La imagen siguiente muestra una hiperesfera inscrita en un hipercubo. El número de dimensiones aumenta de izquierda a derecha (2,3,4 y 5 dim). Como se puede ver, cuanto mayor sea la dimensión, mayor será el número de "hipercornios" que quedan al descubierto por una sola hiperesfera asentada en el centro, de diámetro no mayor que el lado. Estos aumentan como las potencias de dos: 4, 8, 16 y así sucesivamente.

Hipersfera inscrita en el hipercubo

Es fácil demostrar, utilizando la función Gamma, que el volumen relativo de la esfera con respecto al del hipercubo (también conocido como "densidad") disminuye a medida que aumenta el número de dimensiones. En la dimensión 8 , tendrías 2^8=256 hipercórneres alrededor de la esfera de 8 dimensiones.

Un primer intento trivial de empaquetar esferas no superpuestas de forma fractal es mediante un Junta apolínea (Leibniz) - Por lo tanto, observe la segunda imagen adjunta. A medida que el número de dimensiones aumenta, también lo hace la cantidad de esferas que hay que encajar de esta manera, de forma exponencial.

Junta apolínea (WP)

Por supuesto, hay formas más eficientes de empaquetar esferas que esta junta. La aproximación más sencilla es pensar en hiperesferas unitarias: es decir, en aquellas teniendo un volumen igual -unitario-. O tener igual superficie, en algunas otras interpretaciones, ya que es fácil trasladar de una a otra (utilizando la fórmula de pi).

Algunas juntas o esquemas de empaquetado más complejos implican esferas de diferentes tamaños El fractal es una de las formas de expresión más comunes, además del clásico fractal apolíneo, y su cálculo puede implicar métodos de optimización como la programación lineal o la meta-heurística.

Artículo de Viazovska no se ocupa de ellas, sino sólo de las bolas unitarias, y compara cualquier método de empaquetado con el clásico trivial Embalaje de celosía en 8 dimensiones. Su conclusión es que no hay ninguna más eficiente en medidas de densidad que la red (E8).