Distribuciones multiplicadoras en la teoría de campo de Keldysh/Thermo-campo de temperatura finita

Question

En los formalismos de temperatura finita en tiempo real (Schwinger-Keldysh o Thermo-field), los propagadores libres suelen definirse con términos como: $$ \mathrm{Dirac\ Delta}\ \times \ \mathrm{Thermal\ Distribution}(|\mathrm{frequency}|) $$

Por ejemplo, en la teoría del campo térmico los propagadores libres para un campo escalar real son: $$ - i \Delta_{11}(p;m) = \frac{-i}{-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 - i \epsilon} + \frac{2 \pi \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1} \\ - i \Delta_{12}(p;m) \ = \ - i \Delta_{21}(p;m) = \pi \mathrm{csch}\left( \tfrac{\beta|p_0|}{2} \right) \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2+m^2) \\ - i \Delta_{22}(p;m) = \frac{i}{-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 + i \epsilon} + \frac{2 \pi \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2)}{e^{\beta |p_0|} - 1} $$

Así, por ejemplo, el término con el $\frac{\delta(p^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ me preocupa.

La razón por la que estoy confundido es que he estado leyendo sobre funciones/distribuciones generalizadas y un hecho básico sobre estos objetos es que no se pueden multiplicar dos distribuciones entre sí (es decir, multiplicar dos distribuciones no da lugar a una distribución bien definida).

Le site $\delta$ es obviamente una distribución y como tenemos una barra absoluta en $|p_0|$ en el $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ ¿Supongo que esto también es una distribución?

¿Estoy entendiendo mal el significado de $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ ? ¿Qué sentido tienen los propagadores anteriores en el sentido de las distribuciones?

Answer 1

Dos observaciones:

1. Esencialmente, toda función puede considerarse una distribución, aunque lo contrario no es cierto. En este sentido, se puede considerar $(e^{\beta |p_0|} - 1)^{-1}$ como distribuciones. Las distribuciones de este tipo se conocen como distribuciones regulares . Las distribuciones no regulares se conocen como distribuciones singulares .

2. No es cierto que no se puedan multiplicar los repartos. Por ejemplo, la multiplicación de las distribuciones regulares es trivial: basta con multiplicar sus funciones asociadas, que es una operación perfectamente definida.

   Una afirmación algo menos trivial se refiere a las distribuciones singulares. Las puedes multiplicar por distribuciones regulares sin problemas (a no ser que la distribución regular sea demasiado salvaje, en cuyo caso tienes que insistir en que las singularidades de la primera no coincidan con las de la segunda). Este es precisamente el caso de tus propagadores, e invito a pensar si las singularidades de los objetos con los que trabajas coinciden o no. Deberías poder convencerte de que no es así, y por tanto las multiplicaciones están bien definidas.

   Por último, una afirmación mucho menos trivial se refiere al producto de dos distribuciones singulares. Si sus soportes singulares son disjuntos, su multiplicación está perfectamente bien definida y es trivial. Si sus soportes singulares se solapan, las cosas se ponen más interesantes. En algunos casos se pueden multiplicar distribuciones singulares con soportes singulares no disjuntos, y en otros no. Los detalles dependen de la rapidez con la que las distribuciones decaen en el espacio de Fourier; para formalizar estos hechos, Hörmander introdujo el llamado conjunto frontal ondulado . No vamos a discutir esto aquí.

Answer 2

En cuanto al ejemplo explícito de OP $$ \frac{\delta(p^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1} , \qquad\beta\neq 0. \tag{D}$$

1. El enorme caso $m\neq 0$ . Entonces la singularidad de $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ no se solapa con el soporte de $\delta(p^2 + m^2 )$ , por lo que el producto distribución está matemáticamente bien definida.

2. El caso sin masa $m=0$ . Entonces la distribución (D) [y ya $\delta(p^2)$ sí mismo] están matemáticamente mal definidos per se. Heurísticamente (D) puede reescribirse como $$ \frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}\frac{1}{2|p_0|} \sum_{\pm}\delta(p_0 \pm |{\bf p}| ),\tag{D'}$$ que tiene un doble polo en $p_0=0$ . Así, (D) sólo tiene sentido para las funciones de prueba que tienen un doble cero correspondiente en $p_0=0$ .