Pregunta sobre subcampos únicos en campos ciclotómicos.

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la Teoría de los Números y buscando ejercicios para la teoría de los números me encontré con esto asignación que tiene este ejercicio:

(Caso especial ciclotómico). Sea $p$ sea un primo impar, $\omega=\omega_{p}$ una primitiva $p$ raíz de la unidad. Demuestre todo lo siguiente:

1. Si $d\mid p-1$ entonces existe un único subcampo $F_{d}$ de $\mathbb{Q}\left(\omega\right)$ de grado $d$ en $\mathbb{Q}$ Por ejemplo, $F_{2}=\mathbb{Q}\left(\sqrt{\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}}}p\right)$ .
2. $F_{d_{1}}\subseteq F_{d_{2}}$ si y sólo si $d_{1}\mid d_{2}$ .
3. Si $q\neq p$ es un primo impar y $d\mid p-1$ entonces $q$ es un $d$ th potencia modulo $p$ si y sólo si $q$ se divide completamente en $F_{d}$ .
4. (Reciprocidad cuadrática) Si $p$ y $q$ son dos primos Impares, entonces el símbolo de Legendre $\left(\dfrac{p}{q}\right)=1$ si y sólo si $q$ se divide completamente en $F_{2}$ si y sólo si el símbolo de Legendre $\left(\dfrac{d_{\mathbb{Q}\left(\omega\right)}}{q}\right)=1$ . En particular, $$\left(\dfrac{q}{p}\right)\left(\dfrac{p}{q}\right)=\left(-1\right)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$$

Actualmente estoy luchando por demostrar la segunda pregunta que es necesaria para demostrar la tercera (supongo). No tengo ni idea de cómo relacionar el grado con los subcampos únicos de $\mathbb{Q}\left(\omega\right)$ . ¿Alguna idea? Gracias de antemano.

Answer 1

Según la teoría de Galois, la estructura del subcampo de $\mathbb{Q}(\omega_p)$ (donde $\omega_p = e^{\frac{2\pi i}{p}}$ ) se corresponde con la estructura de subgrupos de $Aut(\mathbb{Q}(\omega_p))$ el grupo de automorfismo de $\mathbb{Q}(\omega_p)$ .

Evidentemente, cuando $\sigma \in Aut(\mathbb{Q}(\omega_p))$ entonces $\left(\sigma(\omega_p)\right)^p = \sigma(\omega_p^p) = \sigma(1) = 1$ Así que $\sigma(\omega_p)$ es de nuevo un $p-th$ raíz de orden de la unidad, por lo que debemos tener $\sigma(\omega_p) = \omega_p^j$ para algunos $j \in \{1,2,...,p-1\}$ .
Además, la definición de $\sigma_j$ por $\sigma_j(\omega_p) = \omega_p^j$ vemos que $\sigma_j\left((\sigma_k(\omega_p)\right) = \sigma_j(\omega_p^k) = \omega_p^{jk}$ , lo que implica que $Aut(\mathbb{Q}(\omega_p))$ es isomorfo a $\mathbb{F}_p^*$ por lo que es cíclico, generado por $\sigma_g$ donde $g$ es un generador de $\mathbb{F}_p^*$ .

Los subgrupos de un grupo cíclico $<\negthickspace \sigma \negthickspace>$ son $<\negthickspace\sigma^e\negthickspace>$ donde $e$ divide el orden del grupo, $p-1$ en este caso. Así, por ejemplo, para $p=13$ obtenemos la siguiente correspondencia entre subcampos de $\mathbb{Q}(\omega_p)$ y subgrupos de $\mathbb{F}_p^*$ :

Donde $p^*=\left(\frac{-1}{p}\right) p$ En el ejemplo $p^*= 13$ .

Esto responde a (1) y (2).
Dejo (3) y (4) para ti :-).