¿Se puede generalizar el teorema de Morley?

Question

Teorema de Morley establece que en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores de ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero.

En una charla de hace unos años, David Rusin hizo la provocadora afirmación de que el teorema de Morley es un raro ejemplo de teorema sorprendente que desafía la generalización. Las primeras ideas que vienen a la mente de todos -pasar a dimensiones superiores o a la geometría hiperbólica, por ejemplo- no funcionan.

La prueba de Alain Connes proporciona una especie de generalización suave, pero no muy satisfactoria en mi opinión. La Wikipedia afirma que existen "varias generalizaciones" del teorema de Morley, pero con ello parece querer decir extensiones del teorema de Morley, es decir, más triángulos equiláteros que uno puede construir. Esto no es lo que yo llamaría, estrictamente hablando, una "generalización".

Entonces, ¿tiene razón David Rusin?

¿No hay generalizaciones satisfactorias del teorema de Morley?

Answer 1

Perdonen si conocen este resultado (ya que está enlazado desde la página de Wikipedia, aunque en otro contexto), pero hay un trabajo de Richard K. Guy llamado " El teorema del faro, Morley y Malfatti: un presupuesto de paradojas " en la revista American Mathematical Monthly. El teorema homónimo podría considerarse una generalización del teorema de Morley:

Teorema del faro . Dos conjuntos de $n$ líneas a distancias angulares iguales, un conjunto a través de cada uno de los puntos $B$ , $C$ se cruzan en $n^2$ puntos que son los vértices de $n$ regular $n$ - de los gones.

Naturalmente, no está claro cómo se puede calificar esto como una generalización, pero la observación de conexión es la siguiente:

El milagro de Morley . Las nueve aristas de los triángulos equiláteros del Teorema del Faro para $n=3$ son las líneas de Morley de un triángulo.

Como es debido, el Teorema del Faro debería ampliarse para incluir suficientes observaciones que permitan establecer esta conexión. Por ejemplo, el $n^2$ líneas de la $n$ regular $n$ -forma de los gones $n$ familias de $\binom{n}{2}$ líneas paralelas; si $n$ es impar, entonces el $n$ -gones son homotéticos. Además, hay un resultado de duplicación de ángulos que establece la presencia de los trisectores.

Desde el punto de vista de Guy, la apariencia particularmente agradable del teorema de Morley se debe a que $\binom{n}{2} = n$ para $n=3$ . A modo de comparación, el caso $n=2$ es aún más simple y puede considerarse como la afirmación de que las altitudes de un triángulo coinciden. (El $n$ $n$ -gones es un sistema ortocéntrico). El caso $n=4$ da algunas propiedades de los círculos de Malfatti. Para todas estas interpretaciones, Guy se enfrenta a la "paradoja" de que se recuperan teoremas sobre un triángulo aunque no se comience con ningún triángulo.

De nuevo, mis disculpas si estás al tanto de todo esto. Imagino que sí, en cuyo caso justifico mi respuesta por ser simplemente demasiado larga para un comentario.

Answer 2

La generalización que esperaba comenzaría con: "Dado cualquier simplex en R^n, ..."; el caso n=2 de este teorema sería entonces el teorema de Morley.

Recuerdo que empecé con un tetraedro al azar en R^3 y probé un montón de construcciones buscando que apareciera algo regular: Creo que las variaciones que probé incluían triseccionar y cuadriseccionar los ángulos diedros, y dibujar unos cuantos conjuntos de rayos regularmente espaciados desde cada vértice. Tres planos cualesquiera, cualquier par rayo-plano y algunos pares de rayos proporcionan puntos de intersección, pero no recuerdo haber encontrado ni siquiera triángulos isósceles entre esos puntos de intersección. ¿Quizás he calculado mal (o estoy recordando mal)?

Answer 3

Morley encontró originalmente este teorema como un caso trivial de teoremas mucho más complicados. Cualquiera que diga que este teorema desafía la generalización, en realidad sólo está diciendo que desconoce su historia.

Ver El artículo de Oakley y Baker de 1978 para una amplia discusión del teorema de Morley y más de 100 referencias.

Ver también esta pregunta y respuesta En cierto modo, el espíritu es similar al de la presente cuestión.

Answer 4

GENERALIZACIONES NATURALES DEL TEOREMA DE MORLEY

1. Morley concluyó el teorema a partir de una observación más general, entre complicadas ecuaciones cúbicas, mientras estudiaba meticulosamente cardioides tangente a las líneas de los lados de un triángulo.

En un triángulo las intersecciones de los trisectores proximales a un lado están en (los encuentros de) tres triples de líneas paralelas haciendo triángulos equiláteros .

La observación se refiere a los seis trisectores de un ángulo, ya que fuera de él hay dos ángulos más, su exterior y su suplemento . Además, el proximal a un trisector lateral es el que biseca el ángulo entre un lado y el otro trisector.

De la observación se deduce fácilmente el teorema.

Como el interior trisectores, próximos a los lados respectivamente, se encuentran en los vértices de un equilátero, lo mismo ocurre con las intersecciones de exclusivamente exterior y suplemento trisectores.

En un triángulo los trisectores del mismo tipo para todos los ángulos, próximos a los lados respectivamente, se encuentran en los vértices de un equilátero.

De hecho, la observación asegura la formación de 18 equiláteros con vértices intersecciones de adecuado tipos de trisectores. En lugar de describir la forma en que se obtiene un equilátero concreto, una breve y sorprendente frase confirma la existencia de los equiláteros y da su ubicación.

Mientras que el teorema es específico y se entiende inmediatamente, la descripción para la formación de todos los equiláteros es, al menos inicialmente, bastante confusa. Esta puede ser la razón de que no sea ampliamente conocido en contraste con la fama del teorema. Posteriormente, el teorema casi ha monopolizado la atención.

2. El teorema de Morley se refiere a los trisectores interiores de un triángulo. Pero 18 de sus variantes son válidas para combinaciones adecuadas de trisectores. En el célebre El documento de Alain Connes En la Observación 1 se señala que "... se obtienen así los 18 triángulos equiláteros no degenerados de las variantes del teorema de Morley", pero no se dan detalles.

En la siguiente figura se representan 6 equiláteros con vértices intersecciones de diferentes combinaciones de tipos de trisectores.

La siguiente figura ilustra 3 tríos de equiláteros. Cada uno de los tripletes comparte un vértice con el equilátero formado por las intersecciones de los trisectores de un tipo. Así, sus vértices son intersecciones de trisectores de un tipo para un ángulo y trisectores de otro tipo para los otros dos ángulos .

En el documento Un enfoque trigonométrico de la observación de Morley demostramos el siguiente teorema utilizando la trigonometría. Para un enunciado conciso dejemos que el correspondiente tipo de trisectores interiores, explementarios y exteriores sean exteriores, interiores y explementarios, respectivamente.

En un triángulo, los trisectores del mismo tipo para todos los ángulos, un tipo distinto para cada uno, o un tipo para uno y su correspondiente tipo para el otros dos, próximos a los lados respectivamente, se encuentran en los vértices de un equilátero.

Cubre 18 de las 27 combinaciones posibles de trisectores proximales a los lados. Deja fuera los casos en que un tipo para un ángulo y otro para los otros dos ángulos, se cruzan en los vértices de un triángulo no equilátero. De manera informal y no precisa afirma que "en un triángulo los trisectores proximales a los lados, respectivamente, se encuentran en los vértices de un equilátero" sin hacer referencia a los tipos de trisectores. Como cada uno de estos equiláteros tiene un vértice compartido con otro, se entrelazan en una misma aglomeración que su disposición implica fácilmente las alineaciones de las intersecciones de los trisectores que observó Morley.

En un próximo artículo se presentan pruebas uniformes para todas las variantes utilizando propiedades básicas de incenter y excenter de un triángulo.

3. En nuestro documento UN ENFOQUE HOLÍSTICO DEL TEOREMA GENERAL DE MORLEY 54 equiláteros se demuestran con vértices intersecciones trisectores de ángulos de un triángulo que inlcuye los 18 anteriores. Cabe destacar que los vértices de todos estos equiláteros se encuentran en 3 conjuntos de 12 círculos que pasan por dos vértices del triángulo.

4. Una nota más sobre las generalizaciones del teorema de Morley. En lugar de ángulo trisectores, lado trisectores o perpendicular al lado se pueden considerar los trisectores. O (n)sectores en lugar de (tri)sectores. Sin embargo, ninguno de ellos conduce a un triángulo equilátero. Finalmente es un teorema de la geometría euclidiana sólo para triángulos que no se mantiene en las geometrías elípticas o hiperbólicas.

Answer 5

Por favor, vea aquí nuestro trabajo sobre la extensión del teorema de Morley

Sobre algunas extensiones del teorema trisectorial de Morley