Una función de $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=x^2$ $\mathbb{R}^+$ como su codominio y $\mathbb{R}$ como de su imagen.
¿Cuál es la necesidad de esta discrepancia? ¿Por qué no escribir $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+$?
Yo creo que la razón de esto es que puede haber algunas funciones en el que se haga constar la imagen de esta manera puede ser poco práctico - si esta hipótesis es cierta, ¿qué es esta clase de funciones? Si sí o no, ¿hay alguna razón para esto?
La razón de esta discrepancia es que para muchas de las funciones no es muy importante lo que su imagen es, al mismo tiempo, sería difícil entender esto. El codominio sin embargo es fácil, se describe el tipo de valor que se puede obtener. Es un número real, un número complejo, una fracción?
Por ejemplo, $$f(x)=e^{x\bar{x}}+\frac{7}{3^{x\bar{x}+4}}$$
Es cierto que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$, pero en realidad $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R}$. Por lo tanto el codominio da información útil, pero la imagen es difícil de determinar.
Codominio y la Imagen de una función son dos conceptos totalmente diferentes. El codominio de una función a menudo tiene una estructura, como ser un espacio topológico o algo así. Va a ser muy incómodo para poner toda esa estructura en la imagen, que es sólo un conjunto, y a menudo no es tan bueno. Tomando tu ejemplo, uno podría decir que para $x \to \infty$ la función converge a $0$; cuando con tan sólo mirar en la imagen de la función no puede converger a $0$ porque $0$ no está en la imagen. Y definiciones como la pointwise suma de dos funciones serán mucho más amplias, como a veces es difícil decir lo que es la imagen de la suma de dos funciones.
¿Qué es una función? De manera informal, es un proceso, o una asignación, a partir de un conjunto de entrada a un conjunto de salida. No es sólo el proceso o tarea que forma una función, pero la especificación de la entrada y la salida es parte de lo que es. Formalmente, una función es una triple $(A,B,f)$ donde $A,B$ son conjuntos y $f\subseteq A\times B$ es un subconjunto del producto cartesiano, es decir, una relación de $A$ $to$ $B$. En cambio, si uno quería ver la función de $(A,B,f)$ equivalente a $(A,Im(f),f)$ entonces uno necesita agregar una condición a otra muy limpio definición. Así, a la fuerza el codominio a ser el rango realidad de las cargas de la definición, en lugar de simplificar las cosas. Esa es una razón para no forzar tales cosas.
Otra razón es que así uno no tiene problemas para hablar acerca de la composición cuando es obvio que uno debe ser capaz de hablar acerca de la composición (en realidad, esta es una categoría teórica de razonamiento). Supongamos que $f:A\to B$$g:B\to C$. Si quiero saber si la composición de la $g\circ f$ existe no me importa lo que el rango real de las funciones. Sólo una mirada, como el dominio de $g$ e la (ta ta ta taaaaaa) codominio de $f$. En otras palabras, si el tipo de entrada de $g$ coincide con el tipo de salida de $f$, entonces la composición se define.
Si hemos insistido en que codominio=rango, entonces la condición anterior tendrá que ser reemplazado por "el rango de $f$ está contenida en el dominio de $g$". Y ahora voy a entrar en un poco de jerga técnica de la categoría de teoría. La resultante de la categoría de forzar el codominio=rango será la categoría de la $Set_{Surj}$ de los conjuntos y surjections. Es perfectamente legítimo categoría, pero tiene mucho menos agradable de propiedades cuando se compara a $Set$, la categoría de conjuntos y todas las funciones. Por ejemplo, el conjunto vacío se caracteriza en $Set$ como un objeto inicial (es decir, no es precisamente una función de a cualquier otro conjunto dado) y es de doble únicos, que son de la terminal. Este no es el caso en $Set_{Surj}$. La inconexión de la unión de dos (o más) conjuntos es un ejemplo de una categoría de producto en $Set$, y es el doble del producto cartesiano. Distintos sindicatos no son co-productos en $Set_{Surj}$. Muchas otras de las buenas propiedades de $Set$ se perderán en caso de pasar a $Set_{Surj}$.
En particular, muchos muy conveniente inyecciones ya no será permitida si requerimos que todas las funciones de surjective. Por ejemplo, es muy conveniente para ser capaz de hablar de las funciones de $f_y:\mathbb R \to \mathbb R^2$, dado por $f(x)=(x,y)$, o varias curvas en el plano de ser parametrizadas por alguna función $\gamma:[a,b]\to \mathbb R^2$.
La razón más obvia es sólo que es poco práctico. La imagen puede ser difícil de escribir. Digamos, por ejemplo, consideramos $f(x) = \frac{x^3}{1+e^x}$.
Con el fin de definir la imagen que tengo que trabajar al máximo, que implica la resolución de $f'(x) = 0$. Pero no puedo diferenciar $f(x)$ hasta que he definido. Así que tengo que definir un co-dominio antes de que la imagen tiene sentido.
La otra buena razón es que a menudo estamos interesados en los sistemas de funciones. Así que voy a hablar de $C^1(\mathbb R)$, que es el conjunto de funciones de $\mathbb R\to\mathbb R$, con una primera derivada continua.
Para construir el conjunto estoy interesado en tenemos que hablar de la co-dominio. Mi función $f\in C^1(\mathbb R)$ pero no sería si tuviera que definir la $C^1(\mathbb R)$ como funciones cuya imagen se $\mathbb R$.
Por lo tanto, aunque la imagen puede ser importante el co-dominio es necesario también.
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