¿Cómo calcular el radio cuando conozco la longitud de la línea tangente?

Question

Para mis deberes de matemáticas, me hicieron esta pregunta: Las líneas tangentes desde O inciden en una circunferencia con centro M y radio r en R y S. Calcula r.

-La longitud de OR y OS es de 4

¿Cómo puedo calcular el radio r del círculo M a partir de esto?

Answer 1

Asumo que conoces el centro $\,M\,$ Así que lo entendemos:

$$\angle ORM=90^\circ\Longrightarrow r^2=MR^2=OM^2-OR^2$$

aplicando el Teorema de Pitágoras.

Añadido : Dejemos que $\,R=(x_0,y_0)\,\,,\,\,S=(x_0,-y_0)\,$ , de modo que si $\,M=(a,0)\,$ entonces tenemos:

$$\begin{align*} x_0^2+y_0^2=&16\\(x_0-a)^2+y_0^2=&r^2\end{align*}$$

De la segunda ecuación obtenemos

$$a^2-2ax_0-r^2+16=0\Longrightarrow a=\frac{2x_0\pm\sqrt{4x_0^2+4r^2-64}}{2}=x_0\pm\sqrt{x_0^2+r^2-16}$$

Así,

$$OM=a=x_0+\sqrt{x_0+r^2-16}$$

e introduciendo en (**) anterior obtenemos

$$r^2=2x_0^2+r^2-16+2x_0\sqrt{x_0^2+r^2-16}-16\Longrightarrow (32-2x_0^2)^2=4x_0^2(x_0^2+r^2-16)\Longrightarrow$$

$$1,024-128x_0^2+\rlap{\;/}4x_0^4=\rlap{\;/}4x_0^4+4r^2x_0^2-64x_0^2\Longrightarrow r^2=\frac{256-16x_0^2}{x_0^2}=16\frac{16-x_0^2}{x_0^2}=$$

$$=\left(\frac{4y_0}{x_0}\right)^2\Longrightarrow r=4\frac{y_0}{x_0}=4\tan\angle ROM$$