Resolver la indiferencia de la apuesta por la riqueza

Question

No creo que esto deba ser muy difícil pero me está costando más de lo que pensaba.

Dejemos que $u(w) = \frac{1}{\gamma}w^{\gamma}$

La ecuación que quiero resolver es esta (donde $\pi$ es una variable y no una constante).

$u(w-\pi) = \frac{1}{2}[u(w-x)+u(w+x)]$

--edit--

Me gustaría resolver para $\pi$

Answer 1

En primer lugar tenemos que insertar $w-\pi$ en la función de utilidad.

$u(w-\pi) = \frac{1}{2}[u(w-x)+u(w+x)]$

$\frac1{\gamma}(w-\pi)^{\gamma} = \frac{1}{2}[u(w-x)+u(w+x)]$

Multiplicando la ecuación por $\gamma$ .

$(w-\pi)^{\gamma} = \frac{\gamma}{2}[u(w-x)+u(w+x)]$

Tomando la $\gamma$ -raíz en ambos lados de la ecuación.

$w-\pi = \left(\frac{\gamma}{2}[u(w-x)+u(w+x)]\right)^{\frac1\gamma}$

Multiplicando la ecuación por $(-1)$ .

$\pi-w = -\left(\frac{\gamma}{2}[u(w-x)+u(w+x)]\right)^{\frac1\gamma}$

Añadiendo $w$ .

$$\pi = w-\left(\frac{\gamma}{2}[u(w-x)+u(w+x)]\right)^{\frac1\gamma}$$

Por fin se puede reemplazar $u(w-x)$ y $u(w+x)$ por $\frac1{\gamma}(w-x)^{\gamma}$ y $\frac1{\gamma}(w+x)^{\gamma}$ respectivamente.