Finitely generado módulos proyectivos son localmente libre

Question

Deje $A$ ser un conmutativa noetherian anillo, y deje $M$ ser un finitely generado proyectiva $A$-módulo. Es bien conocido y fácil probar que $A$ es localmente libre en el sentido de que para cada $p \in\operatorname{Spec} A$, el módulo de $M_p$ es un servicio gratuito de $A_p$-módulo.

Es cierto que projectives son también localmente libre en la siguiente (más geométrica?) sentido:

Hay elementos $f_1,\dots,f_n \in A$ tal que $(f_1,\dots,f_n) = 1$, y de tal manera que $M_{f_i}$ es un servicio gratuito de $A_{f_i}$-módulo para todos los $1\le i \le n$.

¿Es esto cierto? si es así, puede proporcionar una referencia o explicar cómo demostrarlo?

Gracias!

Answer 1

Sí, esto es cierto. Ver este Desbordamiento de Matemáticas pregunta para una declaración precisa y una referencia a su prueba en Bourbaki del Álgebra Conmutativa.

Este resultado también se dice en mi álgebra conmutativa notas, pero la prueba no es por desgracia aún no se ha escrito hasta allí. Espero que esto se remedia pronto, aunque, como voy a ser la enseñanza de un curso de estas notas a partir del lunes. Cuando la prueba se presenta por escrito, voy a actualizar esta respuesta con un número de página.

Añadido: Aquí hay algo en el MO respuesta que decidí que valía la pena un comentario aquí. Para finitely módulos generados, esta versión más fuerte de local, libertad es en realidad equivalente a projectivity, mientras que los más débiles "pointwise local, libertad" es ligeramente más débil en general.

Answer 2

Para referencia futura, he escrito un constructiva y razonable auto-contenida, aunque un poco denso, prueba (una página). La idea básica es verificar en primer lugar que idempotente de las matrices locales de los anillos son equivalentes a los de la diagonal de las matrices con entradas de $1$$0$, mostrando así que finitely generado proyectivas de los módulos a través de locales anillos son gratis.