Encontrar una curva que intersecte cualquier línea en el plano

Question

Pregunta ¿Existe una curva en el plano tal que cualquier línea en el plano se encuentra con (un no-cero ) veces finitas ?

¿Cuáles son los límites del número de estas intersecciones?

Mi pregunta se inspiró en este "¿Puedes dibujar círculos en el plano de manera que cada línea intersecte al menos uno de ellos pero no más de 100?"

Answer 1

Parábola cúbica $$y=x^3$$ tiene esta propiedad. El número máximo de tales intersecciones viene dado por el teorema fundamental del álgebra:

$$x^3=ax+b$$ puede tener como máximo 3 soluciones.

Answer 2

Como ya se ha demostrado, cualquier polinomio cúbico (y de hecho, cualquier polinomio de grado impar) tiene la propiedad requerida por el teorema fundamental del álgebra.

Es más, un simple argumento de perturbación debería ser suficiente para demostrar que cualquier (suficientemente) suave La curva que se encuentra con cada línea en al menos un punto se encontrará con algunas líneas en al menos tres puntos. Consideremos un punto tangente a la curva en el que la segunda derivada "respecto a la recta tangente" es distinta de cero; es decir, un punto tangente no reflexivo, o punto localmente extremo. (Tales puntos deben existir si la curva no es trivial). Ahora, consideremos los lápices de las líneas "cercanas" a este punto de intersección; desplazados infinitesimalmente en un sentido desde la tangente, deben tener otro punto de intersección con la curva, y este punto puede hacerse "genérico" para que no desaparezca bajo pequeñas perturbaciones. A continuación, desplaza infinitesimalmente en la otra dirección; el punto de intersección "genérico" sigue siendo un punto de intersección, pero la tangente se convierte en dos puntos de intersección.