Determinar si los polinomios abarcan $P_2$

Question

Determine si los siguientes polinomios abarcan $\mathbb P_2$

$p_1 = 1+x+2x^2$

$p_2 = 3+x$

$p_3 = 5-x+4x^2$

$p_4 = -2- 2x +2x^2$

Intento:

He creado la siguiente matriz aumentada: $$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & -2 & a \\ x & x & -x & -2x&bx\\ 2x^2 & 0 & 4x^2 & 2x^2 & cx^2\\ \end{bmatrix} $$ que se reduce a:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & -2 & a \\ 0 & 1 & 3 & 0 &(a-b)/2\\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & (c+a-3b)/2\\ \end{bmatrix} $$

Ahora, creo que el sistema es consistente y tiene infinitas soluciones por lo que los polinomios abarcan $\mathbb{P_2}$ .

¿Es correcto este enfoque?

Answer 1

Si $P_2$ es el espacio vectorial de polinomios reales de orden menor o igual a 2, entonces se puede pensar en los polinomios dados como vectores en $\mathbb {R^3}$ como; $p_1=(1,1,2)$ , $p_2=(3,1,0)$ , $p_3=(5,-1,4)$ , $p_4=(-2,-2,2)$ (¿Por qué?). A continuación, comprueba el rango de la siguiente matriz: \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 3 & 1 & 0\\ 5 & -1 & 4\\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}

Si el rango es igual a 3, la respuesta es afirmativa.