Encontrar el valor de $\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha$

Question

Si $\alpha,\beta,\gamma$ son las raíces del polinomio cúbico $px^3+qx^2+rx+s$ Entonces, ¿cómo puedo encontrar el valor de $\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha$ en términos de p,q,r y s?

Mi intento:

Usando las fórmulas de Vieta, $$\alpha+\beta+\gamma=\frac{-q}{p}$$ $$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{r}{p}$$ $$\alpha\beta\gamma=\frac{-s}{p}$$

Primero pensé que esto ayudaría. Podemos encontrar $\alpha\beta\gamma$ por la fórmula de Vieta, pero no es posible encontrar la expresión dentro de este paréntesis. $$\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha=\alpha\beta\gamma\left(\frac{\alpha}{\gamma}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}\right)$$

Entonces, encontré $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=\frac{q^2-2rp}{p^2}$$ Pero aquí todos $\alpha^2$ , $\beta^2$ y $\gamma^2$ se multiplican con factores diferentes, por lo que se descarta la posibilidad de tomar un factor común.

Entonces, se me ocurrió poner un ejemplo. Por casualidad, podría obtener un patrón. Por ejemplo, tome el polinomio $x^3-1$ . Las raíces de este polinomio son $1,\omega,\omega^2$ . Entonces, en este caso la expresión se evalúa como $1^2\cdot \omega+\omega^2\cdot 1+\omega^4\cdot 1=\omega-1$ . La expresión en este caso da un resultado complejo, por lo que posiblemente no se podría expresar en términos de $p,q,r,s$ .

Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Dejemos que $\lambda=\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha$ y $\mu=\alpha^2\gamma+\gamma^2\beta+\beta^2\alpha$ Entonces $\lambda+\mu$ y $\lambda\mu$ son polinomios simétricos en $\alpha,\beta,\gamma$ y puede expresarse en términos del simbolismo elemental pol.-s \begin{align*}s_1&=\alpha+\beta+\gamma&&=-q/p,\\s_2&=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha&&=\phantom{-}r/p,\\s_3&=\alpha\beta\gamma&&=-s/p\end{align*} (utilizando el acercarse a de una demostración conocida del teorema fundamental de la simm. pol.-s): $$\lambda+\mu=s_1s_2-3s_3,\quad\lambda\mu=s_1^3s_3-6s_1s_2s_3+s_2^3+9s_3^2.$$ Esto da una ecuación cuadrática cuyas raíces son $\lambda$ y $\mu$ .

Answer 2

Consideremos el polinomio $x^3+Qx^2+Rx+S$ con raíces $\alpha,\beta,\gamma$ . W $$(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)+3\alpha\beta\gamma+(\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta)$$ para que $$(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)+(\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta)=3S-QR.\tag1$$ Además, \begin{align}\small(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)(\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta)&=\small\alpha^3\beta^3+\alpha^3\gamma^3+\beta^3\gamma^3+3\alpha^2\beta^2\gamma^2+\alpha\beta\gamma(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)\\&=\small-S^3\left(\frac1{\alpha^3}+\frac1{\beta^3}+\frac1{\gamma^3}\right)+3S^2-S(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3).\end{align} Podemos evaluar el último término observando que $$(\alpha+\beta+\gamma)^3=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+3(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha+\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta)+6\alpha\beta\gamma$$ para que $$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-Q^3-3S+3QR.$$ Utilizando la segunda de las fórmulas de Vieta $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=R$ dividiendo ambos lados por $\alpha\beta\gamma$ rinde $1/\alpha+1/\beta+1/\gamma=-R/S$ . Desde $$\small\left(\frac1\alpha+\frac1\beta+\frac1\gamma\right)^3=\frac1{\alpha^3}+\frac1{\beta^3}+\frac1{\gamma^3}+3\left(\frac1{\alpha^2\beta}+\frac1{\beta^2\gamma}+\frac1{\gamma^2\alpha}+\frac1{\alpha^2\gamma}+\frac1{\beta^2\alpha}+\frac1{\gamma^2\beta}\right)+\frac6{\alpha\beta\gamma},$$ obtenemos $$-\frac{R^3}{S^3}=\frac1{\alpha^3}+\frac1{\beta^3}+\frac1{\gamma^3}+3\frac{3S-QR}{S^2}-\frac6S$$ utilizando $(1)$ . Así, $$(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)(\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta)=R^3+9S^2-6QRS+Q^3S.\tag2$$ Finalmente podemos determinar los valores de ambos $\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha$ y $\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta$ resolviendo simultáneamente $(1)$ y $(2)$ .

Answer 3

Si eres muy paciente y utilizas la fuerza bruta para la solución de la ecuación cúbica, deberías obtener $$\frac{3 p^2 s-p q r+i \sqrt{p^2 \left(27 p^2 s^2-18 p q r s+4 p r^3+4 q^3 s-q^2 r^2\right)}}{2 p^3}$$ pero $$27 p^2 s^2-18 p q r s+4 p r^3+4 q^3 s-q^2 r^2=-p^2\Delta$$ así que $$\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha=\frac{3 p^2 s-p q r+i \sqrt{- p^2 \Delta}}{2 p^3}=\frac{3 p s- q r+ \sqrt{ \Delta}}{2 p^2}$$