Cómo obtener $f(x)$, si se sabe que $f(f(x))=x^2+x$?

Question

Cómo conseguir $f(x)$, si sabemos que $f(f(x))=x^2+x$?

Hay una escuela primaria de la función $f(x)$ que satisface la ecuación?

Answer 1

No hay tal $f:\mathbb C\to\mathbb C$. Ver este artículo:

Cuando es de $f(f(z)) = az^2 + bz + c$ ?
por R. E. Rice, B. A. Schweizer y Sklar
La American Mathematical Monthly, vol. 87, no. 4 (Abr., 1980), pp 252-263

Más generalmente, demostrar que un polinomio cuadrático no tiene iterativo raíces de cualquier orden.

Answer 2

EDDIITT: muy buena aproximación ( para $x>4,$ decir) con $$ \color{blue}{ h(x) \aprox x^{\sqrt 2} + \frac{x^{ \left(\sqrt 2 - 1 \right)}}{\sqrt 2} + (1 - \sqrt 2 ) }$$ Las siguientes cosas son verdaderas: mientras que solo quieren $C^1$ con ninguna esperanza de extender a los números complejos, puede hacerlo, esto es un teorema en el KCG libro, me puse unas páginas en formato pdf AQUÍ . Yo he tenido la curiosidad de un punto de vista técnico para cuatro años, la suavidad de la verdadera restricción de Ecalle la solución en el punto fijo de sí mismo, y sólo escribió el Prof. Ger, tal vez él va a escribir de nuevo.

Mientras tanto, ver http://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence y la respuesta correcta en http://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765

Su función $x^2 + x$ también ha derivado $1$ en el punto fijo de $0,$, pero no es una transformación de Möbius. Lo que esto significa es que hay una solución para $x \geq 0$ que es real analítica para $x > 0$, y por lo tanto puede ser extendida a una holomorphic función en un conjunto abierto que contiene el estrictamente positivo del eje real. La técnica para hacer todo esto es debido a Jean Ecalle en Orsay, acerca de 1973. Los pasos específicos que se encuentran en el KCG libro, especialmente las páginas 346-347 y 351-352. Todos los pasos se realizan con poder formal de la serie, abreviado FPS en el libro.

De todos modos, va como esto: definir $$ \color{verde}{f(x) = \frac{\sqrt{1 + 4 x} - 1}{2} = \frac{2x}{1 + \sqrt{1 + 4 x}} } $$ por $x > -1/4.$ Necesitamos usar en lugar de la original de $x^2 + x$ porque necesitamos de la convergencia de la iteración de los pasos.

$$ \color{magenta}{f = x - x^2 + 2 x^3 - 5 x^4 + 14 x^5 - 42 x^6 + 132 x^7 - 429 x^8 + 1430 x^9 - 4862 x^{10} + 16796 x^{11} - 58786 x^{12} + 208012 x^{13} - 742900 x^{14} + 2674440 x^{15} + O(x^{16})} $$

$$ $$

$$ \color{magenta}{ \frac{d, f}{dx} = 1 - 2 x + 6 x^2 - 20 x^3 + 70 x^4 - 252 x^5 + 924 x^6 - 3432 x^7 + 12870 x^8 - 48620 x^9 + 184756 x^{10} - 705432 x^{11} + 2704156 x^{12} - 10400600 x^{13} + 40116600 x^{14} - 155117520 x^{15} + O(x^{16}) }$$

Encontrar varios términos en el poder formal de la serie para $\lambda(x)$ que resuelve $$ \lambda(f(x)) = f'(x) \lambda(x), $$ o $$ \lambda \left( \frac{\sqrt{1 + 4 x} - 1}{2} \right) = \frac{\lambda(x)}{ \sqrt{1 + 4 x}}, $$, donde el poder de la serie para $\lambda(x)$ es necesaria para comenzar con el primer término en el poder de la serie de $f(x)$ después de la inicial de $x.$ A destacar, se encuentra el FPS como anteriormente y realizar este paso con esos FPS; me ampliar gradualmente la serie por $\lambda$ uno de los coeficientes en un momento. $$ \color{magenta}{\lambda = - x^2 + x^3 - \frac{3 x^4}{2} + \frac{8 x^5}{3} - \frac{31 x^6}{6} + \frac{157 x^7}{15} - \frac{649 x^8}{30} + \frac{9427 x^9}{210} - \frac{19423 x^{10}}{210} + \frac{x 6576^{11}}{35} - \frac{x 2627^{12}}{7} + \frac{x 853627^{13}}{1155} - \frac{ x 2007055^{14}}{ 1386} + \frac{3682190 x^{15}}{ 1287} + O(x^{16}))}$$

Luego, escribir varios términos para el recíproco de la serie, y el uso de aquellos en $$ \frac{1}{\lambda(x)} = \frac{d \alpha(x)}{dx},$$

$$\color{magenta}{ \frac{d \alpha}{dx} = \frac{-1}{x^2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} - \frac{2x}{3} + \frac{13^2}{12} - \frac{113x^3}{60}+ \frac{1187x^4}{360} - \frac{1754x^5}{315} + \frac{14569x^6}{1680} - \frac{176017x^7}{15120} + \frac{ 1745717x^8}{151200} - \frac{ 176434x^9}{51975} - \frac{ 147635381x^{10}}{9979200} + \frac{ 3238110769x^{11}}{129729600} + O(x^{12})}$$

Ahora, formalmente integrar a encontrar una serie corta de $\alpha(x)$, que por lo general incluye una sola logaritmos plazo y comienza con un par de potencias negativas de $x,$ por lo que es un logaritmo plazo, además de una Laurent de expansión. Esta función $\alpha(x)$ satisface $$ \alpha(f(x)) = \alpha(x) + 1. $$

$$ \color{magenta}{ \alpha = \frac{1}{x} - \log x + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} + \frac{13 x^3}{36} - \frac{113 x^4}{240} + \frac{1187x^5}{1800} - \frac{877x^6}{945} + \frac{14569x^7}{11760} - \frac{176017x^8}{120960} + \frac{1745717x^9}{1360800} - \frac{88217x^{10}}{259875} + O(x^{11})}$$

Realmente calcular $\alpha(x)$ para algún número real $x > 0,$ definen $$x_0 = x, x_1 = f(x), \; x_2 = f(x_1), \; \ldots \; x_{n+1} = f(x_n). $$ De la dfining ecuación para $\alpha$, sabemos que $$ \alpha(x_n) - n = \alpha(x). $ $ , Que es muy buena, porque $x_n$ se acerca lentamente a $0,$ y podemos encontrar $\alpha(x)$ arbitraria de precisión con $$ \color{magenta}{ \alpha(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \alpha(x_n) - n}, $$ cuando estamos utilizando nuestro peculiar Laurent expansión más logaritmo de un término en el lado derecho. Necesitamos un segundo numérico paso, que es el de tener disponibles $\alpha^{-1}(x).$ Yo hice eso con el ordinario de la interseccion, lento pero seguro.

Finalmente, estábamos realmente interesados en $$ f^{-1}(x) = x^2 + x. $$ Por simple sustitución, tenemos $$ \alpha(f^{-1}(x)) = \alpha(x) - 1. $$

Definir $$\color{blue}{ h(x) = \alpha^{-1}\left( \alpha(x) - \frac{1}{2} \right)}, $$ así que $$ \alpha(h(x)) = \alpha(x) - \frac{1}{2}. $$ Entonces $$ h(h(x)) = \alpha^{-1}\left( \alpha(h(x)) - \frac{1}{2} \right), $$ $$ h(h(x)) = \alpha^{-1}\left( \left( \alpha(x) - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \right) = \alpha^{-1}\left( \alpha(x) - 1 \right) = \alpha^{-1}\left( \alpha(f^{-1}(x)) \right), $$ $$ \color{blue}{ h(h(x)) = f^{-1}(x) = x^2 + x}. $$

Realmente, esta es la forma correcta de hacerlo. Es sólo un montón de trabajo.

Bien, utiliza gp-pari, el conjunto de Laurent de la serie con registro de

Si le parece conveniente puede incluir un término constante, al final no cambia nada.

EDICIÓN, viernes 29 de agosto. Más rápido de lo que esperaba, en gran parte porque todavía tenía el programa de C++ para la condición sine problema y sólo tenía un par de cambios, todos los extras retoques se numérica de cosas, la precisión de las demandas y así sucesivamente. La mitad de iteración se llama $h(x),$ próxima columna $h(h(x))$, que salió muy bien, el error $h(h(x)) - x - x^2$ en la columna final.

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus  ./abel_quadratic
 x     alpha(x)                  h(x)              h(h(x))             h(h(x)) - x - x^2
0.1   12.34957156437698    0.1047722467597998    0.109999999999924    -7.601475008391654e-14
0.2   6.698404497655632    0.2183212373574808    0.2400000000057361    5.736109365137498e-12
0.3   4.664365697383913    0.3397339639152821    0.3899999999984503    -1.54972923057696e-12
0.4   3.578318349027508    0.4683176837006184    0.5599999999998941    -1.059019544150455e-13
0.5   2.887563844089283    0.6035247351861248    0.7500000000027918    2.791766817722419e-12
0.6   2.402125463031833    0.7449086888908782    0.9600000000071434    7.143410320729904e-12
0.7   2.038235616342387    0.8920969377271455    1.189999999998397    -1.603108759021948e-12
0.8   1.752874096376789    1.044772606289452    1.43999999999838    -1.619762104391326e-12
0.9   1.521526085243185    1.202662081576193    1.710000000007093    7.093339262319309e-12
1   1.329122322128679    1.365526109628094    1.999999999995433    -4.567457523307894e-12
1.1   1.16584868546157    1.533153249918291    2.309999999999778    -2.227196291976208e-13
1.2   1.025015540899213    1.70535494330933    2.640000000005576    5.575815417019347e-12
1.3   0.9018917080819405    1.881961717365725    2.990000000005553    5.552944822712069e-12
1.4   0.7930276007682336    2.06282021339842    3.359999999999707    -2.924416351440806e-13
1.5   0.6958428672226297    2.247790820476767    3.750000000002591    2.590816450265265e-12
1.6   0.6083648146160752    2.4367457662832    4.16000000000693    6.929337095437638e-12
1.7   0.5290566936740566    2.629567557533946    4.590000000005444    5.444587055508654e-12
1.8   0.4567016007712204    2.826147692171223    5.039999999998141    -1.859126134290401e-12
1.9   0.3903219460842974    3.026385585323028    5.509999999992289    -7.710951885689377e-12
2   0.3291223221286791    3.230187665709464    6.000000000002442    2.442490654175344e-12
2.1   0.2724481590078001    3.437466609237211    6.509999999999497    -5.033837929824259e-13
2.2   0.2197552692216855    3.648140684345403    7.040000000012558    1.255703093588911e-11
2.3   0.1705870545953422    3.862133188737511    7.589999999990695    -9.303704508190069e-12
2.4   0.1245572014479078    4.079371962336136    8.159999999999389    -6.104092925562909e-13
2.5   0.08133637076430866    4.299788963036583    8.75000000000226    2.259525899717119e-12
2.6   0.04064183929403394    4.523319895822285    9.360000000006586    6.585612263854124e-12
2.7   0.00222934965743236    4.749903886620089    9.98999999999781    -2.191171723231466e-12
2.8   -0.0341133655737727    4.97948319436885    10.63999999999049    -9.508873723140798e-12
2.9   -0.068571776927252    5.212002955640676    11.30999999999917    -8.249043809138712e-13
3     -0.1013087576914362    5.447410957318214    12.00000000000204    2.042810365310288e-12
3.1   -0.1324680069216879    5.685657433479092    12.71000000000636    6.363123569719242e-12
3.2   -0.1621768598101268    5.926694883278735    13.43999999999758    -2.422986290773199e-12
3.3   -0.190548610778305    6.170477907124946    14.19000000000481    4.809450580844921e-12
3.4   -0.2176844459848682    6.416963058866861    14.95999999999166    -8.343778792885281e-12
3.5   -0.2436750604884958    6.666108712048336    15.75000000000179    1.794120407794253e-12
3.6   -0.2686020190760892    6.917874938523173    16.56000000002793    2.793298058134663e-11
3.7   -0.2925389073885415    7.172223397984279    17.38999999999731    -2.686775281424136e-12
3.8   -0.3155523105139151    7.42911723765007    18.23999999999727    -2.732072380828843e-12
3.9   -0.3377026486746939    7.688520999656106    19.10999999999866    -1.342712399599044e-12
4     -0.3590448941611992    7.950400537177861    20.00000000001606    1.605826582817826e-11
4.1   -0.3796291888415436    8.214722936869059    20.91000000001309    1.309516037273362e-11
4.2   -0.3995013781846659    8.481456447739166    21.83999999999703    -2.975432400464939e-12
4.3   -0.4187034747973836    8.750570415524315    22.78999999998968    -1.031622703928647e-11
4.4   -0.4372740622184186    9.022035222085844    23.75999999999835    -1.653930464806663e-12
4.5   -0.4552486478563347    9.295822229429085    24.75000000000846    8.462563982902793e-12
4.6   -0.4726599724737711    9.571903727745777    25.76000000000549    5.494129456939945e-12
4.7   -0.4895382824037881    9.850252887298186    26.78999999996759    -3.241055340774679e-11
4.8   -0.5059115696867305    10.13084371362828    27.83999999999663    -3.369783618811795e-12
4.9   -0.5218057845044439    10.41365100589565    28.9100000000271    2.709995769456519e-11
5     -0.5372450236123233    10.69865031803113    30.00000000000084    8.384404281969182e-13
5.1   -0.5522516979121136    10.98581792253899    31.11000000000513    5.133529018541694e-12
5.2   -0.5668466818374271    11.2751307765618    32.2399999999745    -2.550141348089952e-11
5.3   -0.5810494468467916    11.56656649026647    33.39000000001808    1.807883703852653e-11
5.4   -0.5948781809801713    11.86010329704915    34.55999999999035    -9.651088955786591e-12
5.5   -0.6083498961731976    12.15572002578478    35.7499999999859    -1.409716787748039e-11
5.6   -0.6214805247781624    12.45339607461181    36.95999999999748    -2.517239888755185e-12
5.7   -0.6342850065582102    12.75311138636128    38.1900000000032    3.192966724352431e-12
5.8   -0.6467773672439603    13.05484642542658    39.43999999999583    -4.163815126023707e-12
5.9   -0.6589707896064629    13.35858215597922    40.7100000000045    4.494040556357604e-12
6     -0.670877677871321    13.66430002140698    42.00000000001459    1.459454779251246e-11
6.1   -0.6825097162058276    13.97198192491624    43.30999999998249    -1.75008098290963e-11
6.2   -0.6938779219064769    14.28161021123291    44.64000000003188    3.187313607488917e-11
6.3   -0.7049926938537755    14.59316764924931    45.9900000000318    3.180119362289346e-11
6.4   -0.715863856716369    14.90663741565324    47.36000000002589    2.588670597325482e-11
6.5   -0.726500701345836    15.222003079372    48.7499999999996    -3.979039320256561e-13
6.6   -0.7369120217414309    15.53924858691136    50.15999999993838    -6.161663193560152e-11
6.7   -0.7471061489219293    15.85835824833476    51.58999999999504    -4.958734811655319e-12
6.8   -0.7570909820130148    16.17931672400653    53.03999999998766    -1.234038565778306e-11
6.9   -0.7668740168092776    16.50210901226642    54.51000000100765    1.007648933043503e-09
7     -0.7764623720559678    16.82672043658028    55.99999999995545    -4.455102953215828e-11
7.1   -0.7858628136599484    17.15313663528092    57.50999999983604    -1.639543258102893e-10
7.2   -0.7950817770212208    17.48134355022496    59.04000000001636    1.636021179640679e-11
7.3   -0.804125387653983    17.81132741620624    60.58999999998716    -1.284043010807423e-11
7.4   -0.8129994802545112    18.14307475151896    62.15999999998124    -1.876735225558868e-11
7.5   -0.8217096163452652    18.47657234830246    63.74999999999861    -1.392663762089796e-12
7.6   -0.8302611006262054    18.81180726364275    65.3599999999301    -6.989800752088549e-11
7.7   -0.8386589961406261    19.14876681105959    66.98999999999401    -5.990798135346864e-12
7.8   -0.8469081383553058    19.487438552212    68.64000000004481    4.48103429362412e-11
7.9   -0.8550131482496721    19.82781028913469    70.30999999998798    -1.202607805006473e-11
8    -0.8629784444906156    20.16987005676574    71.99999999999801    -1.989519660128281e-12
8.1   -0.870808254770019    20.51360611569972    73.71000000008232    8.232334258728713e-11
8.2   -0.8785066263741219    20.8590069453774    75.43999999996436    -3.563073447399034e-11
8.3   -0.8860774360427158    21.20606123751556    77.18999999997149    -2.852175440271054e-11
8.4   -0.8935243991735187    21.55475788971871    78.9599999999146    -8.540559925940272e-11
8.5   -0.9008510784275988    21.90508599953461    80.75000000001202    1.20223830890609e-11
8.6   -0.9080608917744842    22.25703485853165    82.55999999995808    -4.191327840352699e-11
8.7   -0.9151571200258515    22.61059394681281    84.38999999998555    -1.443879737994536e-11
8.8   -0.9221429138912409    22.96575292760232    86.23999999998546    -1.455603693134577e-11
8.9   -0.9290213005950486    23.32250164214523    88.10999999992129    -7.872116847273958e-11
9    -0.9357951900840553    23.68083010472332    90.00000000001143    1.142552719102241e-11
9.1   -0.9424673808558298    24.04072849786763    91.9099999999938    -6.192518720027351e-12
9.2   -0.94904056543564    24.40218716784729    93.83999999989763    -1.023578027892214e-10
9.3   -0.9555173355278145    24.76519662026029    95.79000000002119    2.118070996370847e-11
9.4   -0.9619001868602525    25.12974751565342    97.7599999999716    -2.840941371040628e-11
9.5   -0.9681915237489729    25.49583066562954    99.74999999998167    -1.833200258261058e-11
9.6   -0.9743936633963083    25.86343702875129    101.7599999999859    -1.412750472162827e-11
9.7   -0.980508839945976    26.23255770679393    103.7900000000061    6.117203965594342e-12
9.8   -0.9865392083063443    26.60318394112198    105.8399999999696    -3.039403451143841e-11
9.9   -0.9924868477624008    26.97530710907296    107.9099999999854    -1.456271214728133e-11
10   -0.9983537653840405    27.34891872058871    109.9999999999955    -4.462208380573429e-12
 x     alpha(x)                  h(x)              h(h(x))             h(h(x)) - x - x^2
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus

---

Answer 3

He aquí una técnica para la búsqueda de los primeros términos de una formales de alimentación de la serie que representa la fracción de iteración de una función dada por $f(x)=x+x^2$. Repito que esta es una forma de solución para el problema, y deja impunes todas las consideraciones de convergencia de la serie de la respuesta.

Voy a buscar los primeros seis términos de $f^{\circ1/2}(x)$, la mitad "th" iterar de $f$, $x^5$plazo. Vamos a escribir la recorre de $f$, empezando por el cero-th. \begin{align} f^{\circ0}(x) y=x\\ f^{\circ1}=f y=x y+x^2\\ f^{\circ2}&=x&+2x^2&+2x^3&+x^4\\ f^{\circ3}&\equiv x&+3x^3&+6x^3& + 9x^4& + 10x^5& + 8x^6\\ f^{\circ4}&\equiv x &+ 4x^2& + 12x^3& + 30x^4& + 64x^5& + 118x^6\\ f^{\circ5}&\equiv x& + 5x^2& + 20x^3& + 70x^4& + 220x^5& + 630x^6\\ f^{\circ6}&\equiv x& + 6x^2& + 30x^3& + 135x^4& + 560x^5& + 2170x^6\\ f^{\circ7}&\equiv x& + 7x^2& + 42x^3& + 231x^4& + 1190x^5& + 5810x^6\,, \end{align} donde las congruencias son el modulo de todos los términos de grado $7$ y más.

Ahora mira a los coeficientes de la $x$plazo: siempre $1$. De la $x^2$-plazo? De $f^{\circ n}$, $C_2(n)=n$. El coeficiente de $x^3$ $f^{\circ n}$ es $C_3(n)=n(n-1)=n^2-n$, como se puede ver por la inspección. Ahora, un momento de reflexión (bueno, tal vez varios momentos') nos dice que $C_j(n)$, el coeficiente de $x^j$ en $f^{\circ n}$, es un polinomio en $n$ de grado $j-1$. Y una familiar de la técnica de diferencias finitas, se muestra que \begin{align} C_4(n)&=\frac{2n^3-5n^2+3n}2\\ C_5(n)&=\frac{3n^4-13n^3+18n^2-8n}3\,, \end{align} No voy a entrar en los detalles de la técnica. El resultado es que, modulo términos de grado $6$ y más, usted tiene $f^{\circ n}(x)\equiv x+nx^2+(n^2-n)x^3+\frac12(2n^3-5n^2+3n)x^4+\frac13(3n^4-13n^3+18n^2-8n)x^5$.

Ahora, conecte $n=\frac12$ en esta fórmula para conseguir su deseada de la serie. Y yo voy a dejar a usted para ir a un grado superior, el uso de la iteración que le he dado.

Answer 4

Aunque la pregunta ya ha sido satisfactoriamente contestadas me gustaría añadir algunas marco más general para preguntas como esta. Para los polinomios y el poder de serie, y es el concepto de Campana y Carleman-matrices.

La idea básica es que si usted tiene un Carleman de la matriz de $F$ asociadas a una función $f(x)$, entonces la función $g(x)=f°^{1/2}(x)$ es asociado a (matriz) squareroot $G=F^{1/2}$ (que es de nuevo un Carlemanmatrix).

Esto juega todo sólo en los coeficientes de el poder formal de la serie de"FPS") y los casos típicos son los de polinomios y/o de alimentación de la serie sin término constante: $$\begin{eqnarray} f(x)&=&\sum_{k=1}^N a_k \cdot x^k &\qquad \qquad \text{ o }\\ f(x)&=&\sum_{k=1}^\infty a_k \cdot x^k \end{eqnarray}$$ (pero se puede generalizar)

Con algunos relativamente simple, de carácter muy general y de usuario estándar-procedimientos usando el software de Pari/GP I expresar el problema simplemente por

n = 16 \\ setting dimension for matrices and vectors

F = carleman(x+x^2,n)    \\ making F a carlemanmatrix for f(x)

G = SQRT(F,1,1)          \\ matrix-squareroot, flags 1,1 indicate specialized
                         \\  routine for lower triangular matrices
                         \\  with units in the diagonal

g = Ser(G[,2]) + O(x^12) \\ extract from G's second column its n coefficients
                         \\ and write them as FPS with the first 12 terms

conseguir el líder en términos de un poder formal de la serie

g(x) =  x + 1/2*x^2 - 1/4*x^3 + 1/4*x^4 - 5/16*x^5 + 27/64*x^6 - 9/16*x^7 
        + 171/256*x^8 - 69/128*x^9 - 579/2048*x^10 + 10689/4096*x^11 + O(x^12)

en un abrir y cerrar...

---

Para tener una función con otra fraccionaria iteración altura de uso como en la lógica de la fracción de los poderes de escalares:

n = 16 \\ setting dimension for matrices and vectors
h = 3/4   \\ setting some example fractional iteration-height

F = carleman(x+x^2,n)   \\ making F a carlemanmatrix for f(x)

L = LOG(F,1,1)          \\ matrix-logarithm, flags 1,1 indicate specialized
                        \\ routine for lower triangular matrices
                        \\ with units in the diagonal
G = EXP( h * L,1,1)     \\ by the Exponential this gives the fractional
                        \\ h'th power of a triangular matrix, 
                        \\ flags with the equivalent meaning as in LOG

g = Ser(G[,2]) + O(x^12) \\ extract from G's second column its n coefficients
                         \\ and write them as FPS with the first 12 terms

dar, para que esta instancia con $h=3/4$

 g(x) = x + 3/4*x^2 - 3/16*x^3 + 9/64*x^4 - 35/256*x^5 + 35/256*x^6
      - 449/4096*x^7 - 1/2048*x^8 + 19041/65536*x^9 - 461901/524288*x^10
      + 1870803/1048576*x^11 + O(x^12)

---

Podemos hacer esto incluso simbólicamente, donde $h$ es a la izquierda indeterminado, todos en la misma pequeño marco:

n = 16   \\ setting dimension for matrices and vectors
h = 'h   \\ resetting h to its symbolical use

F = carleman(x+x^2,n)   \\ making F a carlemanmatrix for f(x) 

L = LOG(F,1,1)          \\ matrix-logarithm, flags 1,1 indicate specialized
                        \\ efficient routine for lower triangular matrices
                        \\ with units in the diagonal (exact rational arithmetic      
                        \\ is possible
G = EXP( h * L,1,1)     \\ by the Exponential this gives the fractional h'th
                        \\ power of a triangular matrix. Same flags        
                        \\ indicate possibility for efficient exact computation        

g = Ser(G[,2]) + O(x^n) \\ extract from G's second column its n coefficients
                         \\ and write them as FPS with the first n terms

dando los dos parámetros de la función $g()$ con $x$ y $h$ para la iteración-altura:

 g(x,h)= x    
         + h*x^2 
         + (h^2 - h)*x^3
         + (h^3 - 5/2*h^2 + 3/2*h)*x^4 
         + (h^4 - 13/3*h^3 + 6*h^2 - 8/3*h)*x^5 
         +      O(x^6)

con los coeficientes de las potencias de $x$ como polinomios en $h$ como ya se ha demostrado en @Lubin de la respuesta.

---

Mientras que la lógica de la frational iteración de (-por supuesto - ciertas clases de funciones de ello, se reduce a la simple analógica de escalar fracciones de poderes, hay algunos requisitos formales y las condiciones para hacer realidad este útil.
Por ejemplo, mientras que es tan fácil como se muestra a encontrar el líder en términos de un poder formal de la serie (tanto como $f(x)$ no tiene término constante) esto no significa que la potencia resultante de la serie tiene un número finito de convergencia de la radio o un valor distinto de cero radio de convergencia, así que en los términos clásicos podría ser simplemente inútil. (A veces se puede aplicar de Euler-, Borel - o Noerlund suma de un divergentes de la serie para obtener resultados aproximados de todos modos, pero este no es el objetivo aquí. @Se Jagy la respuesta de arriba muestra una relación (y podría ser incluso mejor camino para llegar a aproximaciones)

Si la principal función $f(x)$ tiene todavía ningún término constante, pero un coeficiente de $a_1 \noen \{0,1\}$ el análogo puede hacerse mediante diagonalización, así, por ejemplo, algo así como $f(x)=1/2 x + 3/4 x^2 - x^3$ necesitamos contar nuestra LOG y EXP-rutina, para que se hagan las cosas en su lugar, y hará uso de diagonalización y aplicar la iteración de la altura de los exponentes de los valores propios para crear la potencia fraccionaria de la Carlemanmatrix G para la iteración de altura. Pero de nuevo: mientras que vamos a obtener la correcta líder en términos de potencia de la serie, en la mayoría de los casos que el poder de la serie para las fracciones de iteración alturas se tiene radio de convergencia de ser cero, por lo que no puede ser evaluado para cualquier valor de $x$ - excepto que

1. a) la introducción de métodos para divergentes suma o
2. b) reducir a nosotros mismos para la evaluación de la asintótica de poder formal de la serie sólo hasta algunos óptimo de truncamiento.

---

[actualización de Jun de 2015]:

Aquí es una muestra de la computación, en paralelo a la de @Le Jagy.

El poder formal de la serie por $g(x)$ (=$f(x)$ en el OP y $h(x)$ en Se Jagy del post) es, sin duda sólo asintótica (significado: tiene radio de convergencia a cero).

Pero por la relación funcional tenemos $x_{0.5} = ((x_{-20})_{+0.5})_{+20}$ así que vamos a reemplazar $ x' = x_{-20} $, que está más cerca del punto fijo de cero. Si queremos insertar este valor en la asintótica de poder formal de la serie que tenemos después de, digamos, 64 términos de una suma parcial por $g(x')$ (localmente) convergente a cierta cuyo valor de treinta o cuarenta dígitos permanecer constante. Si queremos truncar la serie tenemos una buena estimación (pero, debido a la característica de la serie asintótica sólo) no pueden ser mejoradas (excepto que sustituiría a $x' = x_{-40}$ o incluso una mayor iterar) . Luego usamos la ecuación funcional de nuevo a recorrer ahora 20 veces $g(x) = g(x')_{+20}$ . Que este procedimiento es una significativa aproximación se muestra en la siguiente tabla, donde el error es muy pequeño (y puede hacerse más pequeño como se desee).

La tabla se calcula mediante la iteración de $x$ hacia el punto fijo hasta $x' <0.01$ (llame al número requerido de la inversa de iteraciones "altura-offset") , entonces $64$ términos de los FPS son tomadas y el resultado $g(x')$ fue reiterado de distancia desde el punto fijo de cero por el mismo "desplazamiento en altura".

   x                g(x)             g(g(x))       (x+x^2)- g(g(x))             
  ------------------------------------------------------------------
  0.100000000000  0.104772246757  0.110000000000  1.77368712134E-89
  0.200000000000  0.218321237354  0.240000000000  8.39980200859E-89
  0.300000000000  0.339733963915  0.390000000000  2.06063470023E-88
  0.400000000000  0.468317683702  0.560000000000  3.01316590953E-88
  0.500000000000  0.603524735182  0.750000000000  5.56377802786E-88
  0.600000000000  0.744908688889  0.960000000000  8.30936184814E-88
  0.700000000000  0.892096937726   1.19000000000  1.08442417625E-87
  0.800000000000   1.04477260629   1.44000000000  1.74985488654E-87
  0.900000000000   1.20266208158   1.71000000000  1.94506810567E-87
   1.00000000000   1.36552610963   2.00000000000  2.78678464389E-87
   1.10000000000   1.53315324992   2.31000000000  3.83614094010E-87
   1.20000000000   1.70535494330   2.64000000000  3.76726767336E-87
   1.30000000000   1.88196171736   2.99000000000  4.88855868818E-87
   1.40000000000   2.06282021339   3.36000000000  6.20513270304E-87
   1.50000000000   2.24779082048   3.75000000000  7.73029893345E-87
   1.60000000000   2.43674576629   4.16000000000  6.98399441754E-87
   1.70000000000   2.62956755754   4.59000000000  8.44163571068E-87
   1.80000000000   2.82614769218   5.04000000000  1.00801098914E-86
   1.90000000000   3.02638558534   5.51000000000  1.19080669499E-86
   2.00000000000   3.23018766572   6.00000000000  1.39339232195E-86
   2.10000000000   3.43746660925   6.51000000000  1.61658749748E-86
   2.20000000000   3.64814068433   7.04000000000  1.86119108535E-86
   2.30000000000   3.86213318872   7.59000000000  2.12798232294E-86
   2.40000000000   4.07937196232   8.16000000000  2.41772186544E-86
   2.50000000000   4.29978896302   8.75000000000  2.01254742998E-86
   2.60000000000   4.52331989580   9.36000000000  2.26122901762E-86
   2.70000000000   4.74990388660   9.99000000000  2.52837923787E-86
   2.80000000000   4.97948319435   10.6400000000  2.81450750374E-86
   2.90000000000   5.21200295561   11.3100000000  3.12011260578E-86
   3.00000000000   5.44741095729   12.0000000000  3.44568319447E-86
   3.10000000000   5.68565743345   12.7100000000  3.79169822947E-86
   3.20000000000   5.92669488324   13.4400000000  4.15862739869E-86
   3.30000000000   6.17047790709   14.1900000000  4.54693150987E-86
   3.40000000000   6.41696305883   14.9600000000  4.95706285700E-86
   3.50000000000   6.66610871201   15.7500000000  5.38946556386E-86
   3.60000000000   6.91787493848   16.5600000000  5.84457590632E-86
   3.70000000000   7.17222339803   17.3900000000  6.32282261544E-86
   3.80000000000   7.42911723769   18.2400000000  6.82462716263E-86
   3.90000000000   7.68852099970   19.1100000000  7.35040402841E-86
   4.00000000000   7.95040053722   20.0000000000  7.90056095603E-86
   4.10000000000   8.21472293692   20.9100000000  8.47549919096E-86
   4.20000000000   8.48145644779   21.8400000000  6.68807161944E-86
   4.30000000000   8.75057041558   22.7900000000  7.14874364065E-86
   4.40000000000   9.02203522214   23.7600000000  7.62849696346E-86
   4.50000000000   9.29582222949   24.7500000000  8.12760832582E-86
   4.60000000000   9.57190372781   25.7600000000  8.64635043990E-86
   4.70000000000   9.85025288737   26.7900000000  9.18499212034E-86
   4.80000000000   10.1308437137   27.8400000000  9.74379840606E-86
   4.90000000000   10.4136510060   28.9100000000  1.03230306763E-85
   5.00000000000   10.6986503181   30.0000000000  1.09229467614E-85
   5.10000000000   10.9858179226   31.1100000000  1.15438010481E-85
   5.20000000000   11.2751307766   32.2400000000  1.21858445800E-85
   5.30000000000   11.5665664903   33.3900000000  1.28493251542E-85
   5.40000000000   11.8601032971   34.5600000000  1.35344874129E-85
   5.50000000000   12.1557200259   35.7500000000  1.42415729315E-85
   5.60000000000   12.4533960747   36.9600000000  1.49708203024E-85
   5.70000000000   12.7531113865   38.1900000000  1.57224652159E-85
   5.80000000000   13.0548464255   39.4400000000  1.64967405377E-85
   5.90000000000   13.3585821561   40.7100000000  1.72938763825E-85
   6.00000000000   13.6643000215   42.0000000000  1.81141001853E-85
   6.10000000000   13.9719819250   43.3100000000  1.89576367700E-85
   6.20000000000   14.2816102113   44.6400000000  1.98247084146E-85
   6.30000000000   14.5931676494   45.9900000000  2.07155349145E-85
   6.40000000000   14.9066374158   47.3600000000  2.16303336434E-85
   6.50000000000   15.2220030795   48.7500000000  2.25693196111E-85
   6.60000000000   15.5392485870   50.1600000000  2.35327055204E-85
   6.70000000000   15.8583582485   51.5900000000  2.45207018209E-85
   6.80000000000   16.1793167241   53.0400000000  2.55335167614E-85
   6.90000000000   16.5021090122   54.5100000000  2.65713564400E-85
   7.00000000000   16.8267204365   56.0000000000  2.76344248533E-85
   7.10000000000   17.1531366352   57.5100000000  2.87229239424E-85
   7.20000000000   17.4813435501   59.0400000000  2.98370536390E-85
   7.30000000000   17.8113274161   60.5900000000  3.09770119088E-85
   7.40000000000   18.1430747514   62.1600000000  3.21429947937E-85
   7.50000000000   18.4765723482   63.7500000000  3.33351964530E-85
   7.60000000000   18.8118072635   65.3600000000  3.45538092028E-85
   7.70000000000   19.1487668109   66.9900000000  3.57990235540E-85
   7.80000000000   19.4874385520   68.6400000000  3.70710282498E-85
   7.90000000000   19.8278102890   70.3100000000  3.83700103014E-85
   8.00000000000   20.1698700566   72.0000000000  3.96961550227E-85
   8.10000000000   20.5136061155   73.7100000000  4.10496460640E-85
   8.20000000000   20.8590069452   75.4400000000  4.24306654448E-85
   8.30000000000   21.2060612373   77.1900000000  4.38393935851E-85
   8.40000000000   21.5547578895   78.9600000000  3.33657414671E-85
   8.50000000000   21.9050859994   80.7500000000  3.44443732837E-85
   8.60000000000   22.2570348583   82.5600000000  3.55437811314E-85
   8.70000000000   22.6105939466   84.3900000000  3.66640929124E-85
   8.80000000000   22.9657529274   86.2400000000  3.78054354602E-85
   8.90000000000   23.3225016420   88.1100000000  3.89679345586E-85
   9.00000000000   23.6808301045   90.0000000000  4.01517149613E-85
   9.10000000000   24.0407284977   91.9100000000  4.13569004096E-85
   9.20000000000   24.4021871676   93.8400000000  4.25836136512E-85
   9.30000000000   24.7651966200   95.7900000000  4.38319764567E-85
   9.40000000000   25.1297475154   97.7600000000  4.51021096373E-85
   9.50000000000   25.4958306654   99.7500000000  4.63941330610E-85
   9.60000000000   25.8634370285   101.760000000  4.77081656687E-85
   9.70000000000   26.2325577066   103.790000000  4.90443254899E-85
   9.80000000000   26.6031839409   105.840000000  5.04027296580E-85
   9.90000000000   26.9753071088   107.910000000  5.17834944249E-85
   10.0000000000   27.3489187203   110.000000000  5.31867351757E-85

---

Podría ser interesante, que nos puede reproducir parcialmente Se Jagy del cálculo con los recursos que hemos calculado hasta ahora.
El $\lambda()$ - función puede ser tomado de los coeficientes de la segunda columna de la $\log$-matriz $L$, y entonces tiene dos pasos más para llegar a los Abel la función $\alpha()$:

lam = Ser(-L[,2])  \\ the minus-sign indicates that we want the    
                   \\ log of the inverse f(x): log of sqrt(1+x/4)-1/2    

lam_rec = 1/lam    \\ Pari/GP allows to compute the formal reciprocal

                   \\ in the following formal integral the 1/x-term
                   \\ must be removed as Pari/GP is unable to include
                   \\ a formal expression for log(x):
alpha = intformal(lam_rec + 1/'x) - logx   \\ lx = log(x)
                   \\ "logx" means, we must further work with that term     

Check it out:

lam = Ser( - L[,2])
 %995 = -x^2 + x^3 - 3/2*x^4 + 8/3*x^5 - 31/6*x^6 + 157/15*x^7 - 649/30*x^8 + O(x^9)

lam_rec = 1/lam
 %996 = -x^-2 - x^-1 + 1/2 - 2/3*x + 13/12*x^2 - 113/60*x^3 + 1187/360*x^4 - 1754/315*x^5 + O(x^6)


alpha = intformal(lam_rec + 1/'x) - logx   \\ lx = log(x)
 %998 = x^-1 - logx + 1/2*x - 1/3*x^2 + 13/36*x^3 - 113/240*x^4 + O(x^5)

Answer 5

En primer lugar, vamos $g(x)$ ser igual a $x^2+x$. Ahora podemos decir que $g(x)=g(y)$ es equivalente a $x=$ y o $x+y=-1$. Por lo que $g(g(x))=g(g(y))$ significa que $g(x)=g(y)$ o $g(x)+g(y)=-1$. Pero $g(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}$, por lo que el segundo caso no puede tener lugar. Por lo tanto, $g^n(x)=g^n(y)$ si $g(x)=g(y)$ para cada entero positivo de $n$.

También $f$ devuelve cada número no menor de $-\frac{1}{4}$.

Bueno, no tengo una solución completa y puedo imprimir en mi teléfono móvil, así que mi idea es la siguiente: todos los números reales puede ser dividido en muchas infinitivo secuencias, algunos de ellos también son infinitivo a la izquierda, cada número es un valor de $g$ en el número anterior y en la misma secuencia (si es que existe), y algunos de los números que no ocurren en cualquier secuencia, pero sus valores de $g$ en una de nuestras secuencias. En otras palabras, se dibuja una flecha desde $x$ $g(x)$ para todo $x$. Después de todo lo que has escrito y su imaginación podemos entender nuestra situación. Ahora $f$ sólo puede divisoria de las secuencias de pares y asignarlos a cada uno de los otros en cada par. Lo siento por no demasiado clara explicación