Encuentra el máximo (x) en ${ 2 }^{ n }={ \left( \underset { x }{ ...\underbrace { aaa..aa } } \right) }_{ 10 }$

Question

Ya he pasado 2 horas en esta pregunta, pero no puedo encontrar, pero estoy bastante seguro de que hay un error en esta pregunta, o es esto posible? $$ n \in \mathbb{Z} $$$$ { 2 }^{ n }={ \left( \underset { x }{ ...\\ underbrace { aaa..aa } } \ right) }_{ 10 } $$ (base 10) find $ max(x)$ la respuesta es:120

Agradeceré cualquier sugerencia.

Answer 1

IDEA :

Me he dado cuenta de que

$$1+3+3^2+3^3+828504\times 3^4=2^{26}$$

Esto puede derivarse de $$2^{27}+1=3^4\times (2\times 828504+1)$$

utilizando la igualdad $$1+3+3^2+3^3=\frac{3^4-1}{2}$$

Por lo tanto, el número $2^{26}$ en la base $3$ termina con cuatro unos.

La ecuación anterior es posible gracias a $3^4|2^{3^3}+1$

También me he dado cuenta de que $3^5|2^{3^4}+1$ , $3^6|2^{3^5}+1$ y esto sigue hasta $3^{120}|2^{3^{119}}+1$ , lo que permite ampliar la ecuación anterior.

La única pega es que $3^n|2^{3^{n-1}}+1$ parece ser eterno, permitiendo una gran arbitrariedad $x$ .