El rango esperado cubierto por un paseo aleatorio

Question

La pregunta con la que he estado luchando últimamente es:

Si tenemos un paseo aleatorio unidimensional de longitud $n$ (que se compone de $n$ pasos) con pasos discretos $1$ et $-1$ con probabilidades de ocurrencia de $p_{1}$ et $p_{-1}$ respectivamente, ¿cuál sería el rango esperado cubierto por el paseo? En otras palabras, ¿cuál sería la diferencia esperada entre el punto más alto y el más bajo que alcanza el paseo?

Además, si es posible encontrar el resultado para el primer caso, ¿cuál sería la diferencia esperada para un paseo con algunos otros pasos (posiblemente más de dos, por ejemplo 1, -1 y -2)? ¿O si el paso fuera una variable continua?

Answer 1

Dejemos que $r=\frac{p_1}{p_{-1}}$ , $M_n=\max_{k\le n} S_k$ , $m_n=\min_{k\le n}S_k$ . Entonces, por el principio de reflexión $$P(M_n\ge t)=P(S_n\ge t)+r^{t}P(S_n\le -(t+1))$$ $$P(-m_n\ge t)=P(S_n\le -t)+r^{-t}P(S_n\ge t+1)$$ y por lo tanto se obtiene el cálculo $E(M_n)$ et $E(-m_n)$ . Caso $r=1$ es especialmente fácil $(E(M_n-m_n)=\Theta(\sqrt n))$ .

Del mismo modo, para el movimiento browniano con deriva $\mu$ et $\sigma^2=1$ : $$P(M_n>t)=P(B_n>t)+e^{2t\mu}P(B_n\le -t)$$ $$P(-m_n>t)=P(B_n<-t)+e^{-2t\mu}P(B_n\ge t)$$ con un cálculo fácil para $\mu=0$ . Si $\mu>0$ entonces $E(-m_n)$ converge a una constante, mientras que $E(M_n)\sim C(\mu)n+O(\sqrt n)$ . Todos los demás paseos aleatorios (con varianza finita) convergen al movimiento browniano asintóticamente.