Elección de priores no informativos mediante cantidades pivotantes

Question

En 'Bayesian Data Analysis' (Gelman, Carlin, Stern y Rubin) en la página 64 dice:

"Si la densidad de $y$ es tal que $p(y-\theta|\theta)$ es una función que está libre de $\theta$ y $y$ , digamos que $f(u)$ donde $u = y - \theta$ entonces $y - \theta$ es una cantidad fundamental, y $\theta$ se denomina parámetro de localización pura. En tal caso, es razonable que una distribución a priori no informativa para $\theta$ daría $f(y - \theta)$ para la ditsribución posterior, $p(y - \theta|y)$ . Es decir, bajo la distribución posterior, $y-\theta$ debería seguir siendo una cantidad fundamental, cuya distribución está libre de $\theta$ y $y$ . Bajo esta condición, utilizando la regla de Bayes, $p(y - \theta|y) \propto p(\theta)p(y - \theta|\theta)$ ..."

Quizás estoy siendo denso, pero la regla de Bayes no debería decir algo como $p(y - \theta|y) \propto p(y - \theta)p(y|y-\theta)$ ? ¿Qué estoy olvidando recordar aquí?

Answer 1

Ambas cosas son ciertas. Para justificar la forma en que el libro menciona, podría ayudar a utilizar una notación ligeramente diferente.

Si $\theta$ es un parámetro de ubicación, entonces establece $U = Y-\theta$ y observar que $$p_{U \mid Y}(u \mid y) \propto p_{U,Y}(u,y) = p_{U,\theta}(u, \theta)|1| = p_{U \mid\theta}(u \mid \theta) p_{\theta}(\theta).$$ Podemos utilizar el $\propto$ signo porque la constante de normalización está libre de $\theta$ . La primera igualdad es por el teorema de la transformación, donde estamos transformando $(\theta,u) \mapsto (y,u)$ . La última propiedad no es más que la definición de una densidad condicional.

Tropezar con el mismo párrafo más de $4$ años después...