Demuestre que el mapeo $x\rightarrow x^{-1}$ de $G$ en $G$ es un isomorfismo si $G$ es abeliano

Question

Pregunta : Demuestre que la cartografía $x\rightarrow x^{-1}$ de $G$ en $G$ es un isomorfismo si $G$ es abeliana, $x\in G $

Necesito algunas indicaciones para probar esto .

Answer 1

Dado $\varphi: G\to G$ con $\varphi(a) = a^{-1}$ , $\varphi$ es biyectiva por la definición de grupo.

Eso nos deja sólo para considerar si $\varphi$ es un homomorfismo de grupo: necesitamos para $$\varphi(ab) = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = \varphi(b)\varphi(a) = \varphi(a)\varphi(b)$$

Ahora, por qué la igualdad de la derecha se mantendrá si y sólo si el grupo con elementos $a, b$ es abeliano?

Answer 2

Una respuesta directa viene de considerar $\varphi\colon G\to G$ , $\varphi(x)=x^{-1}$ e imponiendo que es un homomorfismo: $$ \varphi(x)\varphi(y)=\varphi(xy) $$ es decir, $$ x^{-1}y^{-1}=(xy)^{-1} $$ que se convierte en $$ x^{-1}y^{-1}=y^{-1}x^{-1}. $$ Set $x=a^{-1}$ y $y=b^{-1}$ .