Cohomología equivariante a través de las láminas equivariantes

Question

Cohomología ordinaria del espacio topológico $X$ son conocidos por ser la cohomología de la gavilla constante.

Pregunta ¿Existe una descripción análoga para la cohomología equivariante?

Más concretamente. Considere la categoría de $G$ láminas equivariantes $\mathcal{Sh}_G (X)$ . Denote por $\Gamma_G := Inv \circ \Gamma$ composición de dos funtores. Es decir, estamos tomando la sección global de una gavilla equivariante $\mathscr{F}$ y obtener $G$ -Módulo $\Gamma ( \mathscr{F} )$ , entonces tomamos invariantes en este módulo.

Conjetura La cohomología equivariante son funtores derivados de $\Gamma_G$ .

Answer 1

La respuesta es no. Hay un contraejemplo. $G = X = U(1)$ . Más concretamente $X$ es el espacio homogéneo principal para $U(1)$ .

Si el grupo actúa libremente, la cohomología equivariante es igual a la homología ordinaria del espacio cociente. En este caso el espacio cociente es sólo un punto. Entonces $H_G^1 (X)= 0$ .

Por otro lado, considere la secuencia exacta. $$0 \rightarrow \underline{\mathbb{R}} \rightarrow \Omega^0 \rightarrow \Omega^1 \rightarrow 0$$

Es la resolución habitual de Rham. Obsérvese que no afirmo que sea una resolución acíclica en la categoría de láminas equivariantes (no sé si es cierto; si lo sabes, escríbeme). Sólo tengo una secuencia exacta corta y luego escribo una secuencia exacta larga de cohomología (para ser más preciso $R \Gamma_G^i$ ).

$$0 \rightarrow \Gamma_G( \underline{\mathbb{R}} ) \rightarrow \Gamma_G ( \Omega^0) \rightarrow \Gamma_G ( \Omega^1) \rightarrow R^1 \Gamma_G( \underline{\mathbb{R}} )$$

Es fácil ver que $\Gamma_G ( \Omega^0) \simeq \mathbb{R}$ y $\Gamma_G ( \Omega^1) \simeq \mathbb{R}$ . De la exactitud, la flecha $\Gamma_G( \underline{\mathbb{R}} ) \rightarrow \Gamma_G ( \Omega^0)$ es un isomorfismo. De nuevo desde la exactitud, la flecha $\Gamma_G ( \Omega^1) \rightarrow R^1 \Gamma_G( \underline{\mathbb{R}} )$ es inyectiva. Así que $R^1 \Gamma_G( \underline{\mathbb{R}} ) \neq 0$

Answer 2

Esta pregunta no tiene realmente sentido.

Permítanme explicar todo esto en el caso del punto. Si $G$ es discreta, entonces las láminas equivariantes son simplemente $G$ representaciones. Si $G$ es un grupo topológico, entonces hay que considerar los espacios vectoriales topológicos. El problema es que la categoría de espacios vectoriales topológicos no es una categoría abeliana. Entonces no se puede remitir al álgebra homológica clásica y definir un functor derivado. Pero una modificación del álgebra homológica clásica fue hecha por Hochschild y Mostow .

Nótese que las representaciones de dimensión finita de los grupos compactos no tienen cohomología superior. Pero

$$H^* (BG, \mathbb{R}) = S^* ( \mathfrak{g}^* )^G$$

En particular, hay cohomología superior. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta original es "no".

Aunque la respuesta es no, esas cohomologías están relacionadas. Aquí es una referencia.