El subconjunto convexo del espacio real normado es la intersección de los semiespacios

Question

Dejemos que $A$ sea un espacio real normado y $G$ un subconjunto convexo cerrado de $A$ .

¿Cómo puedo demostrar que $G$ es la intersección de todos los semiespacios cerrados en $A$ que contiene $G$ ?

Lo que sé:
Un semiespacio es $H_{f,c}=\{a\in A: f(a)\leq c\}$ para $f\in A^*$ y $c\in\mathbb{R}$ . Así que quiero demostrar que $G=\bigcap_{f\in A^*,G\subset H_f}H_f$ .
Lo que queremos, pues, es demostrar que $\bigcap_{f\in A^*,G\subset H_f}H_f\subset G$ ya que claramente $G\subset \bigcap_{f\in A^*,G\subset H_f}H_f$ .
Además sabemos por todos $a,b\in G$ que para todos $\lambda\in[0,1]$ tenemos $\lambda a+(1-\lambda)y\in G$ . ¿Cómo puedo utilizarlos para demostrar la afirmación?

Edición: El teorema de separación dice: para un espacio real o complejo normado $X$ con $A,B\subset X$ conjuntos convexos no vacíos y disjuntos tenemos
1. $A$ está abierto $\implies$ $\exists f\in X^*,\gamma\in\mathbb{R}$ s.t. $$\Re f(a)<\gamma\leq\Re f(b)$$ para $a\in A,b\in B$
2. $A$ es compacto y $B$ está cerrado $\implies$ $\exists f\in X^*,\gamma\in\mathbb{R},\delta>0$ s.t. $$\Re f(a)\leq\gamma-\delta<\gamma+\delta\leq\Re f(b)$$ para $a\in A,b\in B$ .

Answer 1

Dejemos que $x\in A\backslash G$ . Desde $\{x\}$ es compacto y $G$ es cerrado, tenemos (por la parte 2 del teorema de separación) que existe $f\in X^*$ , $\gamma\in\mathbb{R}$ y $\delta>0$ tal que $$f(x)\leq\gamma-\delta<\gamma+\delta\leq f(g)$$ para $g\in G$ .
Entonces vemos que $-f(x)\geq\delta-\gamma$ . Así que $x\notin H_{-f,-\gamma}=\{a\in A:-f(a)\leq-\gamma\}$ .

Dejemos que $g\in G$ . Entonces $-f(g)\leq\gamma-\delta$ , por lo que tenemos $g\in H_{-f,-\gamma}=\{a\in A:-f(a)\leq-\gamma\}$ .

Dado que todos los puntos fuera de $G$ no son elementos de un semiespacio y todos los elementos de $G$ son, encontramos que $G=\bigcap \{H_{f,\gamma}:f\in A^*,\gamma\in\mathbb{R},G\subset H_{f,\gamma}\}$ .