Demostrar que $\sin x \cdot \sin (2x) \cdot \sin(3x) < \tfrac{9}{16}$ todos los $x$

Question

Demostrar que
$$ \sin (x) \cdot \sin (2x) \cdot \sin(3x) < \dfrac{9}{16} \quad \forall \ x \in \mathbb{R}$$

Pensé acerca del uso de derivados, pero sería demasiado largo.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

Uno tiene $$2\sin x\sin(3x)=\cos(2x)-\cos(4x)\ ,$$ y por lo tanto $$2\sin x\sin(2x)\sin(3x)=(1+u-2u^2)\sqrt{1-u^2}=:f(u)\qquad(-1\leq u\leq1)\ ,$$ donde hemos puesto $\cos(2x)=:u$. Uno calcula $$\sqrt{1-u^2}f'(u)=6u^3-2u^2-5u+1$$ con ceros a $$u\in\left\{1, -{\sqrt{10}+2\over6},{\sqrt{10}-2\over6}\right\}\ .$$ El tercero de estos cables para el valor máximo de $f(u)$, que luego se tiene que dividir por $2$. El resultado puede ser simplificado a $$\sin x\sin(2x)\sin(3x)\leq{68+5\sqrt{10}\over108\sqrt{2}}\doteq0.548737<{9\over16}\ .$$

Answer 2

Tenemos la siguiente igualdad:

$$ \sin(x) \sin(3x) = \frac{\cos(3x - x) - \cos(3x + x)}{2} = \frac{\cos(2x) - \cos(4x)}{2} = \frac{c - 2c^2 + 1}{2} $$

donde $ c = \cos(2x) $. La función de $ f(x) = -2x^2 + x + 1 $ alcanza su máximo global en $ x = 1/4 $, lo que significa que tenemos

$$ \sin(x)\sin(2x)\sin(3x) \leq \sin(x)\sin(3x) = \frac{f(\cos(2x))}{2} \leq \frac{f(1/4)}{2} = \frac{9}{16} $$

si en la mayoría de los una de $ \sin(x), \sin(2x), \sin(3x) $ son negativos.

Nota: Para mostrar que la desigualdad es estricta, basta observar que $ \sin(2x) < 1 $ al $ \cos(2x) = 1/4 $.

Debe haber alguna manera de arreglar esta solución por lo que se aplica de manera más general. Voy a volver a esta respuesta en algún momento en el futuro si me parece un argumento. Si usted encuentra una manera, siéntase libre de sugerir una edición.