¿Un subgrupo con dos cosets tiene cuántos conjugados?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y que $H$ sea un subgrupo de $G$ que tiene exactamente dos cosets distintos. Sea $C = \{H' \subset G ~|~ H' = gHg^{1}$ para algunos $g G\}$ . ¿Cuántos elementos tiene el conjunto $C$ ¿tiene?

---

Desde $H$ tiene sólo dos cosets izquierdos, es un subgrupo normal. Así que $gHg^{-1}=H$ . Por lo tanto, $C$ sólo tiene un elemento, a saber $H$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Otra forma es considerar el normalizador de $H$ en $G$ , llamado $N_G(H)$ . Desde $H\unlhd G$ por lo que tenemos $$N_G(H)=G$$ Ahora muestra este mapa: $$\phi:\{H^g\mid g\in G\}\to \{N_G(H)g\mid\in G\}\\ \phi(H^g)=N_G(h)g$$ es un isomorfismo de grupo y por lo tanto los números de todas las conjugaciones de $H$ es igual a $[G:N_H(G)]$ que es $1$ aquí.