¿Qué es una inmersión de esquemas? Comprender el teorema de Hartshorne II.7.6

Question

Esencialmente, el teorema II.7.6 de Hartshorne demuestra que un haz de líneas $\mathscr{L}$ es amplia si y sólo si $\mathscr{L}^{\otimes n}$ es muy amplio para algunos $n$ . Mi confusión se debe principalmente a la definición de inmersión utilizada en la prueba.

En la primera parte, suponemos $\mathscr{L}^n$ en un noetheriano $A$ -sistema $X$ es muy amplio y utilizamos el hecho de que $X \cong U \subseteq Z \subseteq \mathbb{P}^m_A$ donde la primera inclusión es una inmersión abierta y la segunda es una inmersión cerrada. Esta definición es esencial porque requerimos que una gavilla coherente sobre $X$ se extiende a todos los $Z$ . Este teorema (ejercicio II.5.15) trata de la extensión de un haz coherente desde un subconjunto abierto, por lo que el hecho de que la primera inclusión sea una inmersión abierta es esencial.

Más adelante en la prueba, demuestra que $\mathscr{L}^n$ es muy amplio al mostrar que da lugar a un morfismo $X \to \mathbb{P}^N_k$ lo que influye en $X \to \bigcup_{i = 1}^l U_i \to \mathbb{P}^N_k$ donde $U_i$ son subconjuntos abiertos de algún $\mathbb{P}^N_A$ y el primer mapa es una inmersión cerrada.

¿Qué ocurre aquí? Parece que aquí se utilizan diferentes definiciones de inmersión. ¿Se utilizan indistintamente o es un error de Hartshorne? Estoy muy confundido porque parece que se están utilizando dos definiciones diferentes (no equivalentes) en la misma prueba.

También añadiré que Hartshorne define una inmersión $X \to Z$ para ser un mapa que induce un isomorfismo de ' $X$ con un subesquema abierto de un subesquema cerrado de $Z$ .'

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Como he mencionado en los comentarios, las inmersiones de Hartshorne son inmersiones abiertas seguidas de inmersiones cerradas, lo que es diferente de las inmersiones de EGA, que son inmersiones cerradas seguidas de inmersiones abiertas.

El escenario que tienes aquí es que tienes una inmersión en el sentido de EGA y te gustaría demostrar que es una inmersión en el sentido de Hartshorne. Esto se puede hacer en el caso de que el mapa sea cuasi-compacto, o que la fuente sea reducida: cualquiera de las dos cosas te permitirá calcular la imagen teórica del esquema localmente en el objetivo (ver aquí para un poco de discusión).

Si se cumple alguna de estas hipótesis, entonces se puede factorizar la inmersión $i:X\to Y$ como $X\to \operatorname{im}(i) \to Y$ , donde $\operatorname{im}(i)$ es la imagen teórica del esquema, que por el resultado anterior es el cierre teórico del conjunto de $i(X)$ . $X\to\operatorname{im}(i)$ es topológicamente una inmersión abierta, por lo que basta con comprobar que el mapa sobre tallos es un isomorfismo. Podemos ver esto directamente desde el hecho de que la imagen teórica del esquema puede ser calculada localmente. A partir de la factorización de $i$ como una inmersión cerrada seguida de una inmersión abierta, $\mathcal{O}_{Y,x}\to\mathcal{O}_{X,x}$ es un mapa cociente. Este mapa también es un factor como $$\mathcal{O}_{Y,x}\to\mathcal{O}_{\operatorname{im}(i),x}\to\mathcal{O}_{X,x}$$ y si el segundo mapa no es un isomorfismo, debe ser un mapa cociente no trivial. Si esto es cierto, existe un subesquema cerrado más pequeño a través del cual $i$ factores, en contradicción con la definición de la imagen teórica del esquema como el más pequeño de dichos subesquemas cerrados. Así que hemos producido la factorización requerida.

Por último, dado que $X$ en su problema es noetheriano, cualquier es cuasi-compacto porque cada subconjunto de un espacio topológico noetheriano es cuasi-compacto. Así que puedes intercambiar los órdenes de inmersión a tu antojo en este entorno.